6.2 第三课时 组合与组合数（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第三课时　组合与组合数 (一)组合的概念 1．组合的概念 一般地，从n个不同元素中 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合与排列的区别与联系 排列与组合两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，排列与元素的_____有关，而组合与元素的 无关．只有 相同且 也相同的两个排列才是相同；而两个组合只要 相同，不论元素的顺序如何，都是相同的． 取出m(m≤n)个元素作为一组 顺序 顺序 元素 顺序 元素 (1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． (2)组合的特性：元素的无序性．取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求． (3)相同的组合和不同的组合：只要两个组合的元素完全相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合；如果两个组合的元素不完全相同，那么这两个组合就是不同的组合． 1．(多选)下面四组元素，是相同组合的是 (　 ) A．a，b，c—b，c，a B．a，b，c—a，c，b C．a，c，d—d，a，c D．a，b，c—a，b，d 解析：根据同一组合的概念，可知选项D中，a，b，c中有c，没有d，但是a，b，d中有d，无c，故选项D不是相同组合；A、B、C选项满足同一组合的概念． 答案：ABC　 2．下列问题中，组合问题有________，排列问题有________．(填序号) ①从1,3,5,9中任取两个数相加，所得不同的和； ②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数； ③从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动． 解析：对于①，两个数的和与顺序无关，故是组合问题；对于②，两点为端点的线段与顺序无关，故是组合问题；对于③，选出的同学参加不同的活动，与顺序有关，故是排列问题． 答案：①②　③ 组合与组合数 “组合”与“组合数”是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素作为一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3. 1．甲、乙、丙三人值班，从周一到周六按每人分别值班2天排班，若甲不在周一值班，则不同的排班方案有 (　 ) A．15种 B．30种 C．45种 D．60种 [典例]　(多选)下列问题是组合问题的是 (　 ) A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有2 015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段 C．集合{a1，a2，a3，…，an}含有三个元素的子集有多少个 D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 [解析]　A．10个朋友聚会，每两人握手一次，与次序无关，故是组合问题； B．平面上有2 015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点，与次序无关，故是组合问题； C．集合{a1，a2，a3，…，an}含有三个元素的子集，与次序无关，故是组合问题； D．选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱节目、乙参加独舞节目”与“乙参加独唱节目、甲参加独舞节目”是两个不同的选法，与次序有关，因此是排列问题，不是组合问题． [答案]　ABC 区分排列与组合的方法 区分排列与组合的方法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个对象的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．　　 [对点训练] 给出下列问题： (1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？ 在上述问题中，________是组合问题，________是排列问题． 解析：(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题． (3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题． 答案：(1)(3)　(2)(4) [典例]　现有10名教师，其中