6.4.1 & 6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6．4.1 & 6.4.2　平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.能用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题和其他实际问题． 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力． 重点 难点 重点：掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题． 难点：培养运用向量知识解决实际问题的能力. 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将_____________转化为向量问题； (2)通过_________，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在平面几何中的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理： a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. 平面几何问题 向量运算 x1x2＋y1y2＝0 3．向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等． (2)向量的加、减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解． (3)动量mv是向量的数乘运算． (4)功是力F与所产生的位移s的________． 数量积 [方法技巧]　用向量方法解决物理问题的四个步骤 “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（三） (单击进入电子文档) 37 (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： a⊥b⇔a·b＝0⇔_________________. (3)求夹角问题，用夹角公式： cos θ＝＝________________ (θ为a与b的夹角)． (4)计算线段长度，常用模长公式： ||＝ . 1．由于向量的线性运算和数量积具有鲜明的几何背景，使其与平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等，以及物理学中常见量，如力、速度、加速度、位移等的合成与分解联系紧密，用向量作为工具可以解决很多平面几何和物理学中的问题． 2．平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍，这一结论可以用向量表示为(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)． 1．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是(　 ) A．2　　　　　　 B. C．3 D. 解析： BC中点为D，＝，所以＝. 答案：B　 2．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC (　 ) A．是正三角形 B．是直角三角形 C．是等腰三角形 D．形状无法确定 解析： (＋)·(－)＝2－2＝0，即＝，∴CA＝CB，则△ABC是等腰三角形． 答案：C　 3．当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为________． 解析：作＝F1，＝F2，＝－G(图略)，则＝＋，当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，所以∠AOC＝60°.从而∠AOB＝120°，即θ＝120°. 答案：120° ———————————————————————————— 向量在平面几何证明中的应用 ———————————————————————————————— [典例]　如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点．求证：AF⊥DE. [证明]　法一：设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)． 因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE. 平面几何中利用向量证明的常见问题及方法 (1)常见的利用向量证明的问题 ①利用共线向量定理证明线段平行或点共线； ②利用向量的模证明线段相等； ③利用向量的数量积为0证明线段垂直． (2)常用的两个方法 ①基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明． ②坐标法：先建立平面直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明. 　　 [对点训练] 如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于G，DH⊥CF于H.求证：HG∥EF. 证明：∵⊥，⊥，∴∥. 设＝λ (λ≠0)，则＝λ. 同理＝λ. 于是＝－＝λ(－)＝λ， ∴∥，即HG∥EF. ———————————————————————————— 利用平面向量求几何中的长度问题 ———————————————————————————————— [典例]　如图，在平行四边形ABCD中，A