专题11 平面向量的应用（三）-2023年高一数学寒假自我学习课精讲精练（人教A版2019）

专题11 平面向量的应用（三） 【夯实双基】 一、实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线________方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线_______方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到______的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于） 方位角 从正北的方向线按________时针到目标方向线所转过的水平角 二、解三角形应用题的步骤 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3） 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 三、解三角形应用题的基本思路 实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解 【概念辨析】 （1）某轮船需横渡长江，船速为，水速为，要使轮船最快到达江的另一岸，则需保持船头方向与江岸垂直．( ) （2）两个不可到达的点之间的距离无法求得．( ) （3）方位角和方向角是一样的．( ) （4）．为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距30m的楼的楼顶C处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为．( ) 考点一 最值范围 题型一 周长的最值（范围） 例1．（2022·河南·统考一模）已知的内角所对的边分别为，且. (1)求角B； (2)若，求周长的最大值. 练习1．（2022春·江苏南京·高三期末）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为直径的三个圆的面积依次为，，.已知. (1)若，求的面积； (2)若的面积为，求周长的最小值. 题型二 面积的最值（范围） 例2．（2022春·河北秦皇岛·高三校考期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，且． (1)求角A的大小； (2)求面积的最大值． （2）．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）在锐角中，a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，外接圆周长为，且． (1)求c； (2)记的面积为S，求S的取值范围． 练习2．（2021春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）在三角形中，，以为直角顶点向外作等腰直角三角形，当变化时，四边形的面积的取值范围是______ （2）（2022春·河南·高三期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则面积的最大值为______. 题型三 其他几何量的最值（范围） 例3．（2022春·江西南昌·高三校联考阶段练习）在中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）．（2022春·广西南宁·高三统考阶段练习）已知三个内角的对边分别为，且，则的最大值为__________． 练习3．（2022春·河南洛阳·高三校联考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A为锐角，的面积为S，且满足． (1)若，求A； (2)求的最大值． （2）．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求； (2)求的取值范围． 考点2 在几何图形中的应用 题型一 中线 例1．（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）如图,在中,,,为线段上一点,． (1)求的值; (2)当时,求线段的长． 练习1．（2022春·江苏南通·高三统考阶段练习）如图，在中，，，，点M在线段上． (1)若，求的长； (2)点N是线段上一点，，且，求证：． （2）．（2023·广西桂林·统考一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求. (2)若点D在边AC上，且，求. 题型二 角平分线 例2．（2022春·云南·高二校联考阶段练习）在中，，AD平分交BC于点D，若，则（    ） A． B． C． D． （2）．（2021春·广西贺州·高二阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 练习2．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）在 中，，，分别为角、、的对边，． (1)求 ； (2)若角 的平分线交于， 且，， 求． 考点3 实际应用 题型一 角度问题 例1．（2022·全国·高三专题练习）一