专题09 平面向量的应用（一）-2023年高一数学寒假自我学习课精讲精练（人教A版2019）

专题09平面向量的应用（一） 【夯实双基】 一、向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）利用向量模长求长度 （2）证明线段的垂直问题， （3）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （4）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 二、向量在物理中的应用 用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论． 考点1 平面几何中的向量方法 题型一 求长度 例1．（2022·高二课时练习）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（    ） A． B．3 C． D． 练习1（2022·全国·高三专题练习）在中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上（与B、C不重合），延长射线AD到P，使得AP＝9，若（m为常数），则DB的长度为 __． 题型二 求角度 例2．（2022·高二课时练习）在中，已知边上的两条中线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 练习2．（2022秋·山东菏泽·高一统考期末）如图，在中，已知，，，且.求. 题型三 证明 例3．（2022·全国·高三专题练习）已知正方形,E､F分别是､的中点,､交于点P,连接.用向量法证明: (1); (2). 练习3．（2021秋·陕西宝鸡·高一统考期末）如图，已知分别是的三条高，试用向量的方法求证：相交于同一点． 题型四 判断图形的形状 例4．（2022秋·宁夏银川·高一银川一中校考期中）在四边形中，若，则四边形为（    ） A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 （2）．（2022·高二课时练习）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 练习4．已知非零向量、满足，且，则的形状是（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形 考点2 向量在物理中的应用举例 例1．（2021秋·山东·高一阶段练习）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则力的大小为（    ）． A．7 B． C． D．1 （2）（2022·高一课时练习）在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行．此时，风向是北偏东方向，风速是；水的流向是正东方向，流速是．若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东_____________方向，大小为___________． 练习1．（2023·全国·高三专题练习）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则以下结论不正确的是（　　） A．的最小值为 B．的范围为 C．当时， D．当时， 考点3 三角形的四心 题型一 重心 例1．（2022春·上海·高二专题练习）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：＝，则直线AP一定通过△ABC的（　　） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 练习1．（2022·全国·高三专题练习）在四边形中，为的重心，，点在线段 上， 则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 题型二 内心 例2．（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 练习2．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，，若O为内心，且满足，则x+y的最大值为______． 题型三 外心 例3．（2022·广西南宁·校考模拟预测）的外心满足，，则的面积为（    ） A． B． C． D．2 （2）在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 练习3．（2022·高二课时练习）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 题型四 垂心 例4．（2005·湖南·高考真题）是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 练习4．（2022·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个