专题10 平面几何中的向量方法及物理应用-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第二册）

专题10 平面几何中的向量方法及物理应用 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解． (3)动量mv是向量的数乘运算． (4)功是力F与所产生的位移s的数量积． 题型一 向量在平面几何中的应用 角度一　平面几何中的垂直问题 1．如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. [解析]法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a， 所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0.故⊥，即AF⊥DE. 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2， 则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝(2，1)，＝(1，－2)． 因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE. 2．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE. [解析]以C为原点，方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．设AC＝a，则A(a，0)，B(0，a)， D，C(0，0)，E.因为＝，＝. 所以·＝－a·a＋·a＝0，所以⊥，即AD⊥CE. 3．如图，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上的一点，四边形PFCE是矩形．试用向量法证明： AP⊥EF. [解析]以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系， 设正方形的边长为1，P(m，m)，依题意，得E(1，m)，F(m，0)，A(0,1)， 于是＝(m，m－1)，＝(m－1，－m)，则·＝m(m－1)－(m－1)m＝0， 所以⊥，即AP⊥EF. 4．已知正方形ABCD，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证： (1)BE⊥CF；(2)AP＝AB. [解析] (1)以A为坐标原点，以的方向为x轴的正方向，以的方向为y轴的正方向， 建立平面直角坐标系(图略)，不妨设AB＝2， 则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，E(1，2)，F(0，1)． 因为＝(－1，2)，＝(－2，－1)，所以·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， 所以⊥，即BE⊥CF. (2)设P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(－2，－1)，因为∥， 所以－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.① 同理，由∥，得y＝－2x＋4.② 由①②得x＝，y＝，即P.所以||2＝＋＝4＝||2， 所以||＝||，即AP＝AB. 5．如图，已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值． [解析] (1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴＝(1,1)，＝(－3,3)． ∴·＝1×(－3)＋1×3＝0，∴⊥，∴AB⊥AD. (2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝. 设点C的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)． 又∵＝(1,1)，∴解得∴点C的坐标为(0,5)．∴＝(－2,4)． 又＝(－4,2)，∴||＝2，||＝2，·＝8＋8＝16. 设与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝. 故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为. 6．如图所示，正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且分别靠近点A、点B，AE，CD交于点P.求证：BP⊥DC. [解析]设＝λ，并设△ABC的边长为a， 则＝＋＝λ＋＝λ＋＝(2λ＋1)－λ，又＝－. ∵∥，∴(2λ＋1)－λ＝k－k. 于是有解得λ＝.∴＝. ∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，又∵＝－， 从而·＝·＝a2－a2－a2cos60°＝0.∴⊥.∴BP⊥DC. 角度二　平面几何中的平行(或共线)问题 1．已知平面内四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为(　　) A．菱形　　　　　　　　　 B．梯形 C．矩形 D．平行四边形 [解析]由题意知a－b＝d－c，所以＝，所以四边形ABCD为平行四边形．故选D. 2．设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用向量证明：PQ∥AB. [解析]设＝λ(λ＞0且λ≠1)， 因为＝－＝＋－＝＋(－)＝＋[(－)－(＋)] ＝＋(－)＝(＋)＝(－λ＋1)， 所以∥，又