第19讲 弧长及扇形的面积-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学下册同步精品讲义（北师大版）

第19课 弧长及扇形的面积 ( 目标导航 ) 课程标准 1.理解弧长公式及扇形面积公式，并学会运用公式解决问题； 2.会求不规则图形的面积. ( 知识精讲 ) 知识点01 弧长公式 　半径为R的圆中 　　360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： 　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 注意： 　　(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； 　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； 　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 知识点02 扇形面积公式 1.扇形的定义 　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 　　半径为R的圆中 　　360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： 　　n°的圆心角所对的扇形面积公式： 注意： 　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； 　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：. ( 能力拓展 ) 考法01 利用弧长公式进行有关计算 【典例1】圆心角为，半径为1的弧长为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：圆心角为，半径为1的弧长= ． 故答案为：D． 【即学即练】半径为6的圆弧的度数为，则它的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵圆弧的半径为6，圆心角的度数为， ∴圆弧的弧长为：； 故选：B． 【典例2】把长度为的一根铁丝弯成圆心角是的一条弧，那么这条弧所在圆的半径是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：设半径为R． 由题意，， ∴， 故选：C． 【即学即练】已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（   ） A．12 B． C．24 D． 【答案】C 【详解】由题得 解得 故选：C 考法02 求规则与不规则图形的面积 【典例3】如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解；∵， ∴， ∴， 故选A． 【即学即练】如图是某商品的标志图案，与是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点得到四边形．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：与是的两条直径， ， 四边形是矩形， 与的面积的和与的面积的和， 图中阴影部分的面积， ， ， ， 图中阴影部分的面积（）． 故选：B． 【典例4】如图，正六边形内接于，若的半径等于2，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵正六边形内接于， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故选：C． 【即学即练】如图，正方形的边长为4，分别以为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴正方形的面积为16， 又四个四分之一圆的面积等于一个半径为2的圆的面积为， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 考法03 动态路线问题 【典例5】如图，在中，，将绕点B逆时针旋转到的位置，使A，B，三点在同一直线上，则点A运动的路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在，， ∴， ∴， ∴将绕点B逆时针旋转到的位置，旋转角为 ∵， ∴， 根据弧长公式可得，点A运动的路径长为， 故选A． 【即学即练】一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么点从开始至结束所走过的路径长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可知点从开始至结束所走过的路径为两个圆心角为，半径为1的扇形弧长， 所以点从开始至结束所走过的路径长度为：． 故选C． 【典例6】如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：圆锥的底面周长是，则， ，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度． 则在圆锥侧面展开图中，，度． 在圆锥侧面展开图中． 故小猫经过的最短距离是．故选：． 【即学即练】如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿