6.3 平面向量基本定理及坐标表示（学案）-2022-2023学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）

6.3 平面向量基本定理及坐标表示（学案） 知识自测 一．平面向量基本定理 1.定理：如果，是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2 2.基底： 的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 二．平面向量的正交分解及坐标表示 1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 、作为基底．对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得＝x＋y，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作＝(x，y)，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．显然，＝(1,0)，＝(0,1)，＝(0,0). 三．平面向量的加、减运算的坐标表示 平面向量的坐标运算法则：＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则 1.加法：两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和，即＋＝ 2.减法：两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 ，即－＝ 3.两点求坐标：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝ 4． 平面向量数乘运算的坐标表示 1.已知＝(x，y)，λ∈R，则λ＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以原来向量的相应坐标． 2.中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)， 则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 3.平面向量共线的坐标表示 设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中b≠0. 则，共线的充要条件是存在实数λ，使＝λ. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当 时，向量，(≠0)共线. 可简记为：纵横交错积相减. 五．在平面向量数量积的坐标表示： 1.已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则·＝ 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 2.平面向量的模与夹角的坐标表示： (1)向量的模长公式：若＝(x，y)，则||＝． （2）两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝ . (3)向量的夹角公式：设，都是非零向量，＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是与的夹角， 则cos θ＝＝ (4)两个向量垂直的充要条件：设非零向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则⊥b⇔ 知识简用 题型一 平面向量的基本定理 【例1-1】（2022·全国·高一课时练习）如图，在中，为的中点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（    ） A． B． C． D． 【例1-2】．（2022·全国·高一课时练习）在平行四边形中，点在对角线上，点在边上，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【例1-3】．（2022·安徽）在平行四边形ABCD中，，G为EF的中点，则（　　） A． B． C． D． 【例1-4】（2022·贵州）在平行四边形中，分别是的中点，交于点，则（       ） A． B． C． D． 【例1-5】（2022·广东揭阳·高一期末）已知在中，点为上的点，且，若，则（    ） A． B．0 C． D．1 题型二 平面向量线性运算的坐标表示 【例2-1】（2022·云南）已知，且点，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2022·广东）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【例2-3】（2022·新疆）已知向量，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例2-4】（2022·江苏·靖江高级中学高一阶段练习）已知向量，则（    ） A．(1，－2) B．(1，2) C．(5，6) D．(2，0) 题型三 平面向量垂直平行的坐标运算 【例3-1】（2022·湖北）已知向量，若∥，则等于（    ） A．3 B． C． D． 【例3-2】（2022·吉林）已知向量，，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【例3-3】（2