2.5.1直线与圆的位置关系 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5.1 直线与圆的位置关系 一、学习目标 1．理解并掌握直线与圆的位置关系的判定方法，培养和提高数学直观想象、数学运算能力； 2．能用直线和圆的方程解决直线与圆的弦长及切线问题，体会用代数方法处理几何问题的思想，培养和提高直观想象、逻辑推理素养； 3．借助圆的知识解决实际问题，培养数学建模素养. 二、直线与圆的位置关系 1．我们知道，直线与圆有三种位置关系，它们分别是什么？ （1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点. 2．怎样判断直线与圆的位置关系？ 在初中，我们是利用圆心到直线的距离与半径的关系，从而得到直线与圆的位置关系.到了高中，我们可以利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系. 3．下面，我们通过具体例子进行研究. 二、典型例题 分析：思路1：将判断直线与圆的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长. 二、典型例题 二、典型例题 二、典型例题 分析：思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用垂径定理求得弦长. 二、典型例题 二、典型例题 二、典型例题 二、典型例题 二、典型例题 二、典型例题 分析：如图2.5-2，容易知道，点P（2,1）位于圆O外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切. 二、典型例题 二、典型例题 分析：另一个思路：直线与圆相切，可以利用直线与圆的方程组成方程组，此时方程组只有一组解。 二、典型例题 二、典型例题 二、典型例题 三、实际问题 分析：建立如图2.5-4所示的直角坐标系，要得到支柱A2P2的高度，只需求出点P2的纵坐标. 三、实际问题 三、实际问题 三、实际问题 三、实际问题 三、实际问题 分析：先画出示意图，如图2.5-5，根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险. 三、实际问题 三、实际问题 思考：你还能用其他方法解决上述问题吗？ 三、实际问题 四、总结 1．本节课，我们先通过具体例子，学习如何判断直线与圆的位置关系，总结了两种方法，分别是代数法和综合法． 2．再利用直线和圆的方程解决一些简单的实际问题，体会用坐标法解决平面几何问题． 例1已知直线 和圆心为C的圆 ， 判断直线 与圆C的位置关系；如果相交，求直线 被圆C所截得的弦长. 解法1：联立直线 与圆C的方程，得 ① 消去y，得 ，解得 所以，直线 与圆C相交，有两个公共点. 例1已知直线 和圆心为C的圆 ， 判断直线 与圆C的位置关系；如果相交，求直线 被圆C所截得的弦长. 把 分别代入方程①，得 所以，直线 与圆C的两个交点是A(2,0)，B(1,3)， 因此 . 例1已知直线 和圆心为C的圆 ， 判断直线 与圆C的位置关系；如果相交，求直线 被圆C所截得的弦长. 例1已知直线 和圆心为C的圆 ， 判断直线 与圆C的位置关系；如果相交，求直线 被圆C所截得的弦长. 解法2：圆C的方程 可化为 ， 因此圆心C的坐标为（0，1），半径为 ， 圆心C（0，1）到直线 的距离 . 所以，直线 与圆C相交，有两个公共点. 例1已知直线 和圆心为C的圆 ， 判断直线 与圆C的位置关系；如果相交，求直线 被圆C所截得的弦长. 如图2.5-1，由垂径定理，得 . 例1已知直线 和圆心为C的圆 ， 判断直线 与圆C的位置关系；如果相交，求直线 被圆C所截得的弦长. 【小结】： 1．（代数法）要判断直线 和圆C: 的位置 关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组 的解的个数， 得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系.若相交，可以由方程 组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长. 【小结】： 2．（综合法d-r）我们还可以根据圆的方程求得圆心坐标与半径r，从而求得圆心 到直线的距离d，通过比较d与r的大小，判断直线与圆的位置关系.若相交， 则可利用垂径定理和勾股定理求弦长. 【小结】： 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断方法如下表 例2过点P（2,1）作圆 的切线 ，求切线 的方程. 解法1：设切线 的斜率为k，则切线 的方程为 ， 即 由圆心（0,0）到切线的距离等于圆的半径1，得 解得 .因此，所求切线的方程为 . 例2过点P（2,1）作圆 的切线 ，求切线 的方程. 例2过点P（2,1）作圆 的切线 ，求切线 的方程. 解法2：设切线 的斜率为k，则切线 的方程为 . 因为直线与圆相切，所以方程组 只有一组解. 消去y，得 ①