专题2.3 三元一次方程组【七大题型】-2022-2023学年七年级数学下册举一反三系列（浙教版）

专题2.3 三元一次方程组【七大题型】 【浙教版】 【题型1 三元一次方程（组）的解】 1 【题型2 用消元法解三元一次方程组】 2 【题型3 用换元法解三元一次方程组】 2 【题型4 构建三元一次方程组解题】 3 【题型5 运用整体思想求值】 3 【题型6 三元一次方程组中的数字问题】 4 【题型7 三元一次方程组的应用】 5 【知识点1 三元一次方程组及解法】 1．三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的的定义进行判断． 2．解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题． 3．当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组． 【题型1 三元一次方程（组）的解】 【例1】（2022·河南南阳·七年级期中）我们探究得方程的正整数解只有1组，方程的正整数解只有2组，方程的正整数解只有3组，……，那么方程的正整数解的组数是（    ） A．27 B．28 C．29 D．30 【变式1-1】（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期中）已知是方程组的解，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）方程的正整数解是________． 【变式1-3】（2022·全国·九年级专题练习）三元一次方程x＋y＋z＝1999的非负整数解的个数有（    ） A．20001999个 B．19992000个 C．2001000个 D．2001999个 【题型2 用消元法解三元一次方程组】 【例2】（2022·贵州·铜仁市第十一中学七年级阶段练习）方程组的解________． 【变式2-1】（2022·全国·八年级单元测试）已知且x＋y＝3，则z的值为(　 　) A．9 B．－3 C．12 D．不确定 【变式2-2】（2022·江苏·七年级专题练习）解下列三元一次方程组： （1）；（2）． 【变式2-3】（2022·湖北武汉·七年级期中）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（    ） A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0 【题型3 用换元法解三元一次方程组】 【例3】（2022·全国·七年级课时练习）方程组的解是. 【变式3-1】（2022·全国·七年级单元测试）已知方程组若设 ，则k= ______． 【变式3-2】（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）探索创新完成下面的探索过程： 给定方程组，如果令=A，=B，=C，则方程组变成______； 解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______． 【变式3-3】（2022·全国·八年级课时练习）若x＋y＋z≠0且，则k＝_________． 【题型4 构建三元一次方程组解题】 【例4】（2022·四川省荣县中学校七年级期中）对于实数x，y定义新运算：，其中a，b，c均为常数，且已知，，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式4-1】（2022·全国·单元测试）已知（x+y-3)2+|y+z-5|+（z+x-4)4=0，则x+y+z的值是______． 【变式4-2】（2022·全国·七年级专题练习）在式子中，当x=0时，y=1；当x=1时，y=0；当x=-1时，y=4，则a，b，c的值分别为__________． 【变式4-3】（2022·浙江·七年级期末）对于实数x，y定义新运算其中a，b，c为常数，若，且有一个非零常数d，使得对于任意的x，恒有，则d的值是____． 【题型5 运用整体思想求值】 【例5】（2022·湖北·十堰市北京路中学七年级期中）已知实数x，y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是先将①，②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则__________，_________． (2)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【变式5-1】（2022·山东日照·七年级期末