专题1.2 平行线四大模型与动态角度问题 专题讲练-2022-2023学年七年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（浙教版）

专题1.2 平行线四大模型与动态角度问题 专题讲练 平行线基本模型与动态角度问题在初中数学几何模块中属于基础工具类问题,也是学生必须掌握的一块内容,该份资料就平行线的四大模型(铅笔模型、猪蹄模型、拐弯模型、“5”字模型)和动态模型(翻折、旋转)进行梳理及对应试题分析,方便掌握。 重要模型 模型1:猪蹄模型(M型) 【解题技巧】如图,①已知:AB∥CD,结论:∠APC=∠A+∠C; ②已知:∠APC=∠A+∠C,结论:AB∥CD. 图①、图② 图③ ③已知:AB∥CD,结论:∠A+∠P2+∠C=∠P1+∠P3. 例1、(2022.广东省初一月考)如图所示,已知:AB∥CD,求证:∠APC=∠A+∠C; 【解析】方法一(破角):过点P作PQ∥AB, ∵AB∥CD,∴AB∥CD∥PQ∴∠1=∠2,∠3=∠4∴∠APC=∠2+∠3=∠1+∠4. 方法二(添角): 连接AC, ∵AB∥CD ∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°,又∠2+∠3+∠APC=180° ∴∠APC=∠1+∠4. 变式1.(2022·山东青岛期末)如图,,点在上,,,则下列结论正确的个数是( ) (1);(2);(3);(4) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B. 【解析】解:过点E作EF∥AB, (1)无法判断; (2)∵AB//CD,AB//EF,∴EF//CD,∴∠AEF=70°,∠DEF=15°,∴∠AED=85°,正确; (3)由(2)得:∠A=∠CEF=∠CED+∠DEF,∠DEF=∠D∴∠A=∠CED+∠D,正确; (4)无法判断;故答案为:B. 变式2.(2022.湖北七年级期中)如图,,,则,,之间的关系是( ) A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】解:分别过C、D作AB的平行线CM和DN, 则AB∥CM∥DN∥EF ∴∠α=∠BCM,∠DCM=∠CDN,∠NDE=∠γ 而∠β=∠CDN+∠NDE=∠DCM+∠γ=90°-∠BCM+∠γ=90°-∠α+∠γ. 即∠α+∠β-∠γ=90°,故答案为:C. 例2.(2022·浙江七年级期中)如图(1)所示是一根木尺折断后的情形,你可能注意过,木尺折断后的断口一般是参差不齐的,那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题,我们不妨取名叫“木尺断口问题”.(1)如图(2)所示,已知,请问,,有何关系并说明理由; (2)如图(3)所示,已知,请问,,又有何关系并说明理由; (3)如图(4)所示,已知,请问与有何关系并说明理由. 【答案】见解析. 【解析】解:(1)∠E=∠B+∠D,理由如下: 过点E作直线a∥AB,则a∥AB∥CD,则∠B=∠1,∠D=∠2,∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D . (2)∠E+∠B+∠D =360°,理由如下: 过点E作直线b∥AB,则b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°,∠4+∠D=180° ∴∠B+∠3+∠4+∠D =360°即∠E+∠B+∠D =360°. (3)∠B+∠F+∠D=∠E+∠G,理由如下: 过点E,F,G作直线c∥AB,d∥AB,e∥AB,则c∥AB∥d∥e∥CD, 则∠B=∠5,∠6=∠7,∠8=∠9,∠10=∠D ∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD. 变式3.(2022·山西八年级期末)综合与探究 问题情境:综合实践课上,王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动. (1)如图1,,点分别为直线上的一点,点为平行线间一点且,求度数; 问题迁移:(2)如图2,射线与射线交于点,直线,直线分别交于点,直线分别交于点,点在射线上运动.①当点在(不与重合)两点之间运动时,设.则之间有何数量关系?②若点不在线段上运动时(点与点三点都不重合),请你直接写出间的数量关系. 【答案】(1)110°;(2)①∠CPD=α+β; ②当P在BA延长线时,∠CPD=β-α;;当P在OB之间时,∠CPD=α-β. 【解析】解:(1)过P作PG∥EF,则PG∥EF∥MN,∴∠PAF+∠GPA=180°,∠PBN+∠GPB=180° ∴∠GPA=180°-130°=50°,∠GPB=180°-∠PBN=60°∴∠APB=∠GPA +∠GPB=50°+60°=110°. (2)①∠CPD=∠α+∠β. ②当P在BA延长线时,∠CPD=β-α.过P作PE∥AD交AD于E, ∵AD∥BC,∴∠DPE=α,∠CPE=β ∴∠CPD=β-α. 当P在OB之间时,∠CPD=α-β 过P作PE∥AD交CD于E,同理,得:∠CPD=α-β. 变式4.(2022·四川·西川中学七年级期中)已知,点、分别是、上的点,点在、之间,连接、. (1)如图1,若,求的度数. (2)在(1)的条件下,分别作和的平分线