专题7.2 平行线四大模型与动态角度问题 专题讲练-2022-2023学年七年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（苏科版）

专题7.2 平行线四大模型与动态角度问题 专题讲练 平行线基本模型与动态角度问题在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，该份资料就平行线的四大模型（铅笔模型、猪蹄模型、拐弯模型、“5”字模型）和动态模型（翻折、旋转）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 重要模型 模型1：猪蹄模型（M型） 【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠APC=∠A+∠C； ②已知：∠APC=∠A+∠C，结论：AB∥CD. 图①、图② 图③ ③已知：AB∥CD，结论：∠A+∠P2+∠C=∠P1+∠P3. 例1、（2022.广东七年级月考）如图所示，已知：AB∥CD，求证：∠APC=∠A+∠C； 【解析】方法一（破角）:过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∴∠1=∠2，∠3=∠4∴∠APC=∠2+∠3=∠1+∠4. 方法二（添角）: 连接AC， ∵AB∥CD ∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°，又∠2+∠3+∠APC=180° ∴∠APC=∠1+∠4. 变式1.（2022·广西·七年级专题练习）如图，已知直线，直线与，分别交于点A，B，直线与，分别交于点C，D，P是直线上的任意一点(不与点C，D重合).探究，，之间的关系，可以得到的结论是________. 【答案】∠APB＝∠PAC＋∠PBD或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠PBD＝∠PAC＋∠APB． 【分析】分三种情况讨论：点P在CD之间时，点P在CD的延长线上，点P在DC延长线上，分别过P作PG∥AC，根据平行线的性质进行推导，即可得到∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系． 【详解】如图，当P点在C、D之间运动时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD． 理由如下：过点P作PG∥l1， ∵l1∥l2，∴PG∥l2∥l1，∴∠PAC＝∠APG，∠PBD＝∠BPG， ∴∠APB＝∠APG＋∠BPG＝∠PAC＋∠PBD； 如图，当点P在CD延长线上时，∠PAC＝∠PBD＋∠APB． 理由如下：过点P作PG∥l1， ∵l1∥l2，∴PG∥l2∥l1，∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD， ∵∠APG＝∠BPG＋∠APB，∴∠PAC＝∠PBD＋∠APB． 如图，当点P在DC延长线上时，∠PBD＝∠PAC＋∠APB． 理由如下：过点P作PG∥l1， ∵l1∥l2，∴PG∥l2∥l1，∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD， ∵∠BPG＝∠APG＋∠APB，∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB． 故答案为∠APB＝∠PAC＋∠PBD或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠PBD＝∠PAC＋∠APB． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等，解题时注意辅助线的作法． 变式2．（2022·广西贵港·七年级期末）如图，平面内直线，点，，分别在直线，，上，平分，并且满足，则，，关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，代入即可得出答案． 【详解】解：如图，，①，， ， 平分，， 代入①得：，，故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 例2．（2022·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由； （2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由； （3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由． 【答案】见解析. 【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下： 过点E作直线a∥AB，则a∥AB∥CD，则∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D . （2）∠E+∠B+∠D =360°，理由如下： 过点E作直线b∥AB，则b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，∠4+∠D=180° ∴∠B+∠3+∠4+∠D =360°即∠E+∠B+∠D =360°. （3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下： 过点E，F，G作直线c∥AB，d∥AB，e∥AB，则c∥AB∥d∥e∥CD， 则∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D ∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD. 变式3．（2022·安徽·潜山市七年级阶段练习）如图，点A，B，C，D是的两条射线上的点（异于点O），且，，． (1)如图