5.2 导数的运算（课时3 简单复合函数的导数）-2022-2023学年高二数学同步高效课堂重难点讲练课件（人教A版2019选择性必修第二册）

第五章 一元函数的导数及其应用 5.2 导数的运算 榆次一中 数学教研组 1 课时3 简单复合函数的导数 2 学习目标 1.了解复合函数的概念．（数学抽象） 2.理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．（逻辑推理、数学运算） 3.能运用复合函数求导及导数运算法则解决综合问题．（数学抽象、数学运算） 返回至目录 3 自主预习·悟新知 合作探究·提素养 随堂检测·精评价 4 1.预习教材第78页“思考”的内容，回答下列问题． （1） 现有方法能求函数 <m></m> 的导数吗？为什么？ [答案] 现有方法无法求出它的导数.主要原因如下：用定义不能求出极限；该函数不是基本初等函数，没有求导公式；该函数不是基本初等函数的和、差、积、商形式，不能用导数的四则运算法则解决这个问题． 预学忆思 自主预习·悟新知 YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL 返回至目录 5 （2） 函数 <m></m> 可以用基本初等函数表示吗？它的结构特点是什么？ [答案] 可以，函数 是由函数 和 复合而成的复合函数． （3） 函数 <m></m> 的导数是什么？ [答案] ． 2.对于函数 <m></m> ，其导函数是 <m></m> 吗？ [答案] 不是． 返回至目录 6 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 函数 是由函数 和 复合而成的．( ) √ （2） 若 ，则 ．( ) × （3） 若 ，则 ．( ) × 自学检测 返回至目录 7 2.函数 的复合过程正确的是( ). A. ， B. ， C. ， D. ， A 3.函数 的导数是( ). A. B. C. D. C [解析] ， ． 返回至目录 8 4.下列对函数的求导正确的是( ). A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 D [解析] 对于A， ，故A错误；对于B， ，故B错误；对于C， ，故C错误；对于D， ．故D正确． 返回至目录 9 探究1 复合函数的概念 问题1：函数 <m></m> 是由哪些函数复合而成的？ [答案] 函数 是由 及 两个函数复合而成的，即 可以通过中间变量 表示为自变量 的函数． 情境设置 合作探究·提素养 YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL 返回至目录 10 问题2：如何分析一个复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的？ [答案] 复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出 ，再根据内层的主体函数结构找出函数 ，函数 和 复合而成函数 ． 返回至目录 11 新知生成 一般地，对于两个函数 和 ，如果通过中间变量 ， 可以表示成 的函数，那么称这个函数为函数 和 的复合函数，记作 ． 返回至目录 12 新知运用 例1 下列函数是怎样复合而成的？ （1） ； （2） ． [解析] （1）令 ，则 ， 所以 是由函数 和函数 复合而成的． （2）令 ，则 ，所以 是由函数 和函数 复合而成的． 方法总结 若 与 均为基本初等函数，则函数 或函数 均为复合函数. 返回至目录 13 函数 是怎样复合而成的？ [解析] 函数 是函数 ， 的复合函数． 巩固训练 返回至目录 14 探究2 复合函数的导数 问题1：如何求函数 <m></m> 的导数？试写出复合函数求导的过程． [答案] ，由两个函数相乘的求导法则可知 ，从整体上来看，函数 的外层函数是基本初等函数 ，它的导数 ，内层函数是幂函数的线性组合 ，它的导数是 ，发现 ． 情境设置 返回至目录 15 求复合函数的导数一般分以下四步： 返回至目录 16 问题2：利用复合函数的求导法则求函数的导数，需注意什么？ [答案] （1）分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，选定适当的中间变量．（2）分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，其中要特别注意的是中间变量的系数．如 ，而不是错误地认为“ ”．（3）根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数． 返回至目录 17 新知生成 一般地，对于由函数 和 复合而成的函数 ，它的导数与函数 ， 的导数间的关系为 即 对 的导数等于 对 的导数与 对 的导数的乘积． 返回至目录 18 新知运用 例2 求下列函数的导数． （1） ；（2） ；