6.3.1平面向量基本定理（精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）

6.3.1平面向量基本定理 (精讲） 目录 一、必备知识分层透析 二、重点题型分类研究 题型1:对基底的理解 题型2：用基底表示向量 题型3：用平面向量基本定理求参数 题型4：平面向量基本定理的综合应用 题型5：运用平面向量基本定理解决证明问题 三、高考（模拟）题体验 一、必备知识分层透析 知识点1：平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使. 若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. （2）对平面向量基本定理的理解 (1)这个定理告诉我们,平面内任意两个不共线向量都可以作为基底,一旦选定一组基底,则平面内的任一向量都可用该组基底唯一表示. (2)对于确定的基底,,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的. (3)同一个非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即,且. (4)这个定理可推广为:平面内任意三个不共线的向量中,任何一个向量都可表示例示为其余两个向量的线性组合,且形式唯一. 知识点2：平面向量基本定理的有关结论 （1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线；当时，与共线；当时，，同样的时，. （2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则. 二、重点题型分类研究 题型1:对基底的理解 典型例题 例题1．（2022·全国·高一假期作业）若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 例题2．（2022秋·河南新乡·高一新乡市第一中学校考阶段练习）已知，是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能做基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 例题3．（多选）（2022秋·广东韶关·高一校考期中）已知向量、不共线，则下列各组向量中，能作平面向量的一组基底的有（    ） A． B． C． D． 同类题型演练 1．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考开学考试）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·高一课时练习）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（多选）（2022·高一课时练习）已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（    ） A．和 B．和C．和 D．和 题型2：用基底表示向量 典型例题 例题1．（2022春·广东江门·高二台山市第一中学期中）在中，为边上的中线，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2022秋·四川绵阳·高一校考期末）在中，点在边上，且.设，，则可用基底，表示为（    ） A． B． C． D． 例题3．（多选）（2022·浙江·模拟预测）如图，已知，点，满足，，与交于点，交于点，.则（    ） A． B． C． D． 同类题型演练 1．（2022春·福建·高三阶段练习）在中，点在边上，.记，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习）在中，点在边上，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022春·辽宁抚顺·高三校联考期中）在中，为边上的中线，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 题型3：用平面向量基本定理求参数 典型例题 例题1．（2022·全国·高三专题练习）点为内一点，若，设，则实数和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 例题2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形中，分别为上的点，且，连接交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 例题3．（2022春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校联考阶段练习）在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 例题4．（2022春·江苏盐城·高三统考期中）中，，若，则___________． 例题5．（2022·高一单元测试）如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________. 同类题型演练 1．（2022春·福建福州·高二福州三中校考期中）中，D为BC中点，，AD交BE于P点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）在中，为边的中点，在边上，且，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022秋·四川凉山·高一统考期末）在中，点D在边AB的延长线上，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（2022秋·广