6.3.1 平面向量基本定理（课时作业）-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

第六章平面向量及其应用 6.3平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 [学习目标]1.理解平面向量基本定理及其意义（重点）.2.在平面内，当基底选定后，会用基底来 表示其他向量（重点）.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题（难点）. 积累必备知识 答案见P2 提升关键能力 答案见P26 要点平面向量基本定理 类型一 基底的判断 1.定义 规律总结 如果e,e2是同一平面内的两个 基底具备两个主要特征：①基底是两个不 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只 共线向量；②基底的选择是不唯一的.平 有一对实数入1，入2，使 面内两向量不共线是这两个向量可以作 2.基底 为这个平面内所有向量的一个基底的充 若e1,e2不共线，把{e1,e2}叫做表示这一平 要条件.由于零向量与任意向量共线，因 面内所有向量的一个基底. 此平面向量的基底中一定不含零向量 >思考：如果e1,e2是两个不共线的确定向量， 【例题1】设a,b不共线，c=2a-b,d=3a-2b, 那么与e,e2在同一平面内的任一向量a能 试判断c,d能否作为基底 用e,e2表示的依据是什么？ 思维导引：考查两个向量是否能构成基底， 主要看这两个向量是否不共线， 辨析 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×”， (1)平面向量的基底是唯一的 ( (2)任意两个向量都可以作为基底.( (3)零向量不可以作为基底中的向量.( ) (4)如果e1,e2是共线向量，那么向量a一定 不能用e1,e2表示. ·17 数学必修第二册课堂学案 【变式1】若{e1,e2}是平面内的一个基底，则下 【变式2】(1)设点D为△ABC中BC边上的中 列四组向量能作为表示平面向量的基底 点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则 的是 () A.e1-e2,e2-e1 AB0-若a+号Ad B.2e1一e2,e1-2e2 BB0-名A店3AC C.2e2-3e1,6e1-4e2 D.e1十e2,e1-e2 C.B0-8店-名aG 类型二运用基底表示向量 D.BO=- 8A店+6aC (2)如图，两块斜边长相等的直角三角板 规律总结 拼在一起，若AD=xAB+yAC,则x= 平面向量基本定理的作用以及注意点 ,y= (1)根据平面向量基本定理，平面内的任 一向量可用同一个基底表示，进而建立起 45 609 向量之间的联系 (2)基底的选择，一般遵循“模已知、夹角 已知”的原则. 类型三 平面向量基本定理在平面几何中 (3)利用已知向量表示未知向量时，通常 的应用 借助向量加法、减法、数乘运算的几何意 义，将向量集中在封闭的图形中，利用三 解题技巧 角形法则或平行四边形法则快速找到表 用向量解决几何问题时，可以选择适当的 示法 基底，将问题中涉及的向量用基底表示， 【例题2】(1)如图，在△MAB中，C是边AB 把几何问题转化为向量问题，通过向量运 上的一点，且AC=5CB,设MA=a,MB 算，再将向量问题转化为几何问题，即几 b,则MC (用a,b表示). 何>向量→几何，其中平面向量基本定理是 基础， 【例题3】(1)如图1，在△ABC中，D,E分别是 边AB,AC的中点，求证：DELBC. 第(1)题图 第(2)题图 (2)如图，四边形ABCD为平行四边形，AE= (2)如图2，在△ABC中，点M是BC的中 点，点N在AC上，且AN=2NC,AM与 }A店，D-}F心，若A=入AC+xDE, BN相交于点P,求AC与职 PM与pV的值 则入一4的值为 思维导引：(1)选择向量所在的三角形或平 行四边形，利用已知向量表示未知向量. (2)先选取基底，再根据三角形法则和平行 四边形法则求解 图2 18 第六章平面向量及其应用 思维导引：利用同一个基底表示同一个向 量，再由系数唯一确定求解. 落实随堂演练 答案见P6 1.如果e1,e2是平面内一组不共线的向量，那 么下列四组向量中，不能作为表示平面内所 有向量的一个基底的是 () A.e1与e1+e2 B.e1-2e2与e1+2e2 C.e1十e2与e1-e2 D.e1+3e2与6e2+2e 2.设D为△ABC所在平面内一点，BC= 3CD,则 () 【变式3】(1)如图，平行 A.Ai-}a店+号Ad 四边形ABCD的两 条对角线相交于点 RAD=号AB-号AC O,7AE=5AB,AD=4AF,EF交AC于 点K,AK=入OA,则实数入的值为( C.AD-号A店+}AC A B分 D.Ai-号A店-}AC c n 3.向量a在基底{e1,e2}下可以表示为a=2e十 (2)证明：平行四边形的对角线互相平分。 3e2,若a在基底{e1十e2,e1一e2}下可表示为 a=入(e1十e2)十(e1一e2),则λ= 4.如图