6.3.1 平面向量基本定理（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

-6．3　平面向量基本定理及坐标表示 6．3.1　平面向量基本定理 [学习目标] 1.理解平面向量基本定理及其意义(重点).2.在平面内，当基底选定后，会用基底来表示其他向量(重点).3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题(难点)． 要点　平面向量基本定理 1．定义 如果e1，e2是同一平面内的两个__不共线向量__，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使　a＝λ1e1＋λ2e2　. 2．基底 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 思考：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能用e1，e2表示的依据是什么？ 提示　依据是向量的数乘运算和平行四边形法则． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)平面向量的基底是唯一的．(　　) (2)任意两个向量都可以作为基底．(　　) (3)零向量不可以作为基底中的向量．(　　) (4)如果e1，e2是共线向量，那么向量a一定不能用e1，e2表示．(　　) 解析　(1)错误，平面向量的基底不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面向量的一个基底． (2)错误，不共线的两个向量才能作为基底． (3)正确，零向量与任意向量共线． (4)错误，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 类型一　基底的判断 规律总结 基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一个基底的充要条件．由于零向量与任意向量共线，因此平面向量的基底中一定不含零向量． 【例题1】 设a，b不共线，c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底． 思维导引：考查两个向量是否能构成基底，主要看这两个向量是否不共线． 解析　设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0，由于a，b不共线，所以2－3λ＝2λ－1＝0，所以λ是不存在的，从而c，d不共线，即c，d能作为基底． 【变式1】 若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为表示平面向量的基底的是(　　) A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－e2 C．2e2－3e1，6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2 答案　D 解析　A项中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量，不能作为基底；B项中，2e1－e2＝2，也为共线向量，不能作为基底；C项中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量，不能作为基底；根据不共线的向量可以作为基底知只有D项符合．故选D项． 类型二　运用基底表示向量 规律总结 平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)根据平面向量基本定理，平面内的任一向量可用同一个基底表示，进而建立起向量之间的联系． (2)基底的选择，一般遵循“模已知、夹角已知”的原则． (3)利用已知向量表示未知向量时，通常借助向量加法、减法、数乘运算的几何意义，将向量集中在封闭的图形中，利用三角形法则或平行四边形法则快速找到表示法． 【例题2】 (1)如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且 AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)． 　 第(1)题图　　　　　第(2)题图 (2)如图，四边形ABCD为平行四边形，＝，＝，若＝λ＋μ，则λ－μ的值为____________. 思维导引：(1)选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量． (2)先选取基底，再根据三角形法则和平行四边形法则求解． 解析　(1)＝＋＝＋＝＋(－) ＝＋＝a＋b. (2)选取，为基底，则＝＋＝＋，又＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ＝＋(λ－μ)，所以λ－μ＝1. 答案　(1)a＋b　(2)1 【变式2】 (1)设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝－ D．＝－＋ (2)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若＝x＋y，则x＝________，y＝________. 解析　(1)依题意得＝－＝－＝×(＋)－＝－＋.故选D项． (2)如图，过点D作DF⊥AB，交AB的延长线于点F，设AB＝AC＝1，则BC＝DE＝. 因为∠DEB＝60°，所以BD＝， 又∠DBF＝180°－45°－90°＝45°， 所以DF＝BF＝×＝， 故 ＝＋＝＋＝x＋y， 所以x＝1＋，y＝. 答案　(1)D　(2)1＋　 类型三　平面向量基本定理在平面几何中的应用 解题技巧 用向量解决几何问题时，可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量用基底表示，把几何