6.1 平面向量的概念（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

第六章　平面向量及其应用 6．1　平面向量的概念 [学习目标] 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素． 要点一　向量的定义与表示 1．向量的定义 在数学中，把既有__大小__又有__方向__的量叫做向量． 2．有向线段 具有__方向__的线段叫做有向线段，以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||.有向线段包含三个要素：__起点、方向、长度____. 3．向量的表示方法 (1)几何表示：向量可以用　有向线段　来表示，我们把这个向量记作向量.有向线段的长度||表示向量的__大小__，有向线段的方向表示向量的__方向__. (2)字母表示：向量也可以用字母a，b，c，…表示，书写时必须加箭头，即为　 　，　 　，　 　，…. 4．向量的长度 (1)定义：向量的__大小__称为向量的长度(或称模)． (2)表示：向量，a的长度分别记作　||，|a|　. 思考：(1)向量与数量有什么区别？ (2)向量就是有向线段吗？为什么？ 提示　(1)数量是一个代数量，只有大小没有方向，其大小可以用正数、负数、零来表示，可以比较大小，如长度、质量、面积、体积等；向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小． (2)不是．从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此向量和有向线段是两个不同的概念．向量可以平行移动，而有向线段是固定的线段．向量可以用有向线段来表示． 要点二　向量的相关概念 1．特殊向量 (1)零向量：__长度为0__的向量叫做零向量，记作0. (2)单位向量：__长度等于1个单位长度__的向量，叫做单位向量． 2．相等向量与共线向量 (1)相等向量：长度__相等__且方向__相同__的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作　a＝b　. (2)平行向量：方向__相同或相反__的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做__共线向量__；向量a与b平行，记作　a∥b　；规定零向量与任意向量__平行__，即对于任意向量a，都有　0∥a　. 思考：向量平行与几何中的平行一样吗？ 提示　不一样．向量中的平行包括两种情况：一是表示向量的有向线段所在直线重合；二是表示向量的有向线段所在直线是两条平行直线．而几何中的平行不包括直线重合． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)两个向量能比较大小.(　　) (2)相等向量一定是共线向量.(　　) (3)共线向量一定是相等向量.(　　) (4)向量的模是一个正实数.(　　) 解析　(1)错误，两个向量不能比较大小． (2)正确，相等向量方向相同，所以是共线向量． (3)错误，共线向量方向可能相反，长度也可能不相等，所以不一定相等． (4)错误，向量的模可能为0. 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 类型一　向量的有关概念 规律总结 向量及有关概念的理解 (1)向量由大小和方向确定，与起点无关． (2)零向量是一种特殊的向量，零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等． (3)单位向量是长度为1的向量，是一类向量的统称．单位向量不一定相等，容易忽略向量的方向． (4)当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量． 【例题1】 判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)温度有零上和零下之分，所以温度是向量； (2)0＝0； (3)共线向量就是平行向量； (4)若a，b为非零向量，且|a|＝|b|，则a＝b； (5)与是相同的向量； (6)若＝，则A，B，C，D四点一定构成平行四边形． 思维导引：要准确判断本题，必须对向量的有关概念有准确清晰的理解和把握，向量不同于数量，向量不只有大小，还有方向． 解析　(1)不正确，因为温度只有大小没有方向． (2)不正确，0表示的是向量，而0表示的是数量，二者有本质上的区别． (3)正确，平行向量也叫做共线向量． (4)不正确，|a|＝|b|表示的仅仅是两个向量的模相等，但方向是不确定的． (5)不正确，与表示的是长度相等，方向相反的两个向量，不是相同的向量． (6)不正确，A，B，C，D四点可能在同一条直线上． 【变式1】 (1)下列各项中是向量的为(　　) A．时间 B．加速度 C．面积 D．长度 (2)(多选)下列命题中，错误的是(　　) A．若|a|＜|b|，则a＜b B．长度相等的向量都相等 C．共线的单位向量可能相等 D．若a∥b，b∥c，则a∥c 解析　(1)加速度是既有大小又有方向的量，是向量；而时间、面积、长度是只有大小的量，是数量．故选B项． (2)对于A项，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故A项错误；对于B项，长度相等的向量