6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

6．3.5　平面向量数量积的坐标表示 [学习目标] 1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角(重点).2.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件(重点)． 要点一　平面向量数量积的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝　x1x2＋y1y2　，即两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__. 思考：向量数量积的坐标表示公式有什么特点？用时应注意什么？数量积坐标运算的作用是什么？ 提示　公式的特点是“对应坐标相乘后再求和”，在解题时要注意坐标的顺序，数量积坐标运算的作用是将数量积运算转化为代数运算． 要点二　两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b ⇔__x1x2＋y1y2＝0__. 要点三　用坐标表示的三个重要公式 1．向量的模的公式：设a＝(x，y)，则|a|＝　　. 2．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝　　. 3．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b 的夹角为θ，则cos θ＝＝　　. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)向量的模等于向量坐标的平方和．(　　) (2)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．(　　) (3)若两个非零向量a，b的夹角θ是锐角，则a·b>0.(　　) (4)向量的夹角公式仅适用于两个非零向量．(　　) 解析　(1)错误，向量的模等于向量坐标的平方和的算术平方根． (2)错误，θ可能是π. (3)正确，因为θ是锐角，所以cos θ>0，所以a·b＝|a|·|b|cos θ>0. (4)正确，分式的分母不能为零． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 类型一　平面向量数量积的坐标运算 解题技巧 数量积运算的两个途径 (1)先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算． (2)先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算． 特别提醒：对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，注意把握图形特征，并写出相应点的坐标即可求解；对于条件中未给出向量坐标的，可通过建系转化为坐标运算． 【例题1】 已知向量a＝(2,4)，b＝(1,2)． (1)求a·b； (2)若c＝(2，－1)，求(a·b)·c及a·(b·c)． 思维导引：直接利用数量积的坐标表示进行运算即可． 解析　(1)由题意可得a·b＝(2,4)·(1，2)＝2×1＋4×2＝10. (2)由(1)知a·b＝10，所以(a·b)·c＝10(2，－1)＝(20，－10)，而b·c＝(1,2)·(2，－1)＝1×2＋2×(－1)＝0，所以 a·(b·c)＝a·0＝0＝(0,0)． 【变式1】 (1)在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝________. (2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是边AB上的动点，则·的值为________，·的最大值为________ 解析　(1)设AC，BD相交于点O，则＝＋＝＋＝＋＝(－1,2)．又＝(1,2)，所以·＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3. (2)以点D为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0，1)．设E(1，a)(0≤a≤1)，所以·＝(1，a)·(1,0)＝1，·＝(1，a)·(0,1)＝a≤1，所以·的最大值为1. 答案　(1)3　(2)1　1 类型二　平面向量的模 规律总结 (1)用字母表示的向量的模的运算：利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)用坐标表示的向量的模的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝. 【例题2】 已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，求|2a－b|的最大值． 思维导引：先求2a－b的坐标，然后用模的坐标公式，转化为三角函数最值问题． 解析　由题意可知2a－b＝(2cos θ－，2sin θ)，所以|2a－b|2＝(2cos θ－)2＋(2sin θ)2＝4cos2θ－4cos θ＋3＋4sin2θ＝7－4cos θ，所以|2a－b|＝≤＝2＋，当且仅当cos θ＝－1时，等号成立，所以|2a－b|的最大值为2＋. 【变式2】 已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a－2b|＝________. 解析　a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1,3)，所以x＝2，y＝1，所以a＝(2,1)，所以|a|＝，|b|＝，a·b＝0，所以|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝25，所以|a－2b|＝5. 答案　5 类型三　平面向量的夹角和垂直问题 误区防错 解决向量夹