10.等比数列及其前n项和-【快乐假期】2022-2023学年高二数学寒假作业（新教材，人教A版）

　　十、等比数列及其前n项和　　　　　　　 1．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于________，那么这个数列叫做等比数列，________________________________________________________________________ 叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)． 2．等比数列的通项公式 如果一个等比数列{an}的首项为a1，公比为q，那么它的通项公式是________． 3．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成________________________________________________________________________ 那么G叫做a，b的等比中项，此时G＝________. 4．等比数列{an}的前n项和 Sn＝ 5．等比数列通项公式的推广及运算性质 (1)等比数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an＝a1qn－1 (揭示首末两 项的关系) an＝________ (揭示任意两 项之间的关系) (2)等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝________. ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a. ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. (3)和的性质 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，________仍成等比数列，其公比为qn，当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，________不一定构成等比数列． 6．数列求和的常用方法有________、______、______. 1．同一个常数　这个常数　2.an＝a1qn－1(q≠0) 3．等比数列　±　4.na1　　　5.(1)am·qn－m　(2)ap·aq (3)S3n－S2n　S3n－S2n　6.公式法　裂项相消法　错位相减法 等比数列前n项和公式的应用 (1)知三求二：在等比数列前n项和公式中，共有a1，an，q，n和Sn这五个量，已知其中任意三个，都可以求出另外两个． (2)两种思想：关于等比数列前n项和公式的基本运算，多运用方程的思想，解决两个基本量：首项a1和公比q，从而求出通项公式．同时此类问题在求解中经常使用整体代换的思想． (3)一个注意点：凡涉及等比数列前n项和的问题，必须注意公比q是否等于1，如果不确定，应分q＝1或q≠1两种情况讨论． 1．设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　) A．12　　　　　　　　B．24 C．30 D．32 2．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝(　　) A．－4 B．－6 C．－8 D．－10 3．已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足a1＝1，an＋1＝2Sn，则a2 022＝(　　) A．2×32 021 B．32 021 C．22 020 D．2×32 020 4．已知数列{an}为等比数列，且a1＝4，公比为q，前n项和为Sn.若数列{Sn＋2}也是等比数列，则q＝(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 5．(多选)下列说法不正确的是(　　) A．等比数列中的某一项可以为0 B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞) C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1 D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列． 6．(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝2n(n∈N*)，则下列结论中正确的是(　　) A．a4＝5 B．{an}为等比数列 C．a1＋a2＋…＋a2 021＝22 022－3 D．a1＋a2＋…＋a2 022＝ 7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2 018，a2＋a4＝－2a3，则S2 021＝________. 8．设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2＋a5＝2am，则m＝________. 9．若数列{an}满足－＝0，则称{an}为“追梦数列”．已知数列为“追梦数列”，且b1＝2，则数列{bn}的通项公式bn＝________. 10．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝m·2n－1－3，则m＝________，数列{an}的通项公式为an＝________. 11．(2022·全国甲卷，17)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列． (2)若a4，a7，a9成等比数列，求