专题06 完全平方公式在几何图形中的应用-【微专题】2022-2023学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

专题06 完全平方公式在几何图形中的应用 【例题讲解】 阅读：若x满足，求的值． 解：设，则， 所以． 请仿照上例解决下面的问题： (1)若x满足，求的值； (2)若x满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为，长方形的面积是500，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）． （1）解：设，，∴，， ∴； （2）解：设， ∴，， ∵， ∴解得：，即； （3）解：正方形ABCD的边长为x，AE=15，CG=25，∴，， ∵NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，长方形EFGD的面积是500， ∴，， ∴， ， ， ， 设，，则，， ∴阴影部分的面积 ∵，即，解得：， ∴，即阴影部分的面积为2100． 【综合解答】 1．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 阅读理解： ①如图1，阴影部分的面积是； ②若将图2中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是； ③比较两图的阴影部分的面积，可以得到等式：． (1)问题解决： ①如图3所示，将一个长为，宽为的长方形沿图中虚线裁剪成四个相同的小长方形； ②若按图4的方式拼出一个大正方形，则这个大正方形的边长是___________，大正方形的面积是___________． ③若用四个相同的小长方形的面积和阴影部分的面积之和表示大正方形的面积是___________． ④比较大正方形的面积，可以得到等式：___________． (2)拓展探究：如图5，整个图形是边长为的正方形，请用图5中所给图形的边长与面积，根据其中面积的等量关系，可以得到一个等式：___________． 【答案】(1)②，；③；④ (2) 【分析】（1）②根据题干（1）①所给条件可得：图4这个大正方形的边长，继而根据正方形面积公式即可得这个大正方形的面积； ③根据题意可得：图4中小长方形的长为a，宽为b，可得4个小长方形面积为4ab，阴影部分是一个边长为的正方形，面积为，继而求解； ④由图4这个大正方形面积相等即可求解； （2）利用正方形面积公式求出大正方形面积、利用两个小正方形面积与两个小长方形面积之和求出大正方形面积，两式相等即可求解． 【详解】（1）②根据题意和图3可得：图4大正方形的边长为， ∴这个大正方形的面积为， 故答案为：；； ③根据题意可得：图4中小长方形的长为a，宽为b，阴影部分是一个边长为的正方形， ∴4个小长方形面积为4ab，阴影部分的面积为， ∴大正方形的面积是， 故答案为：； ④由图4这个大正方形面积相等可得：， 故答案为：； （2）根据题意可得：图5中大正方形边长为， ∴大正方形的面积为：， 根据图5可得：大正方形面积， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式、平方差公式，熟练掌握两个公式的应用，能够由面积相等推导出公式是解题的关键． 2．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式； (3)若，，利用得到的结论，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)30 【分析】（1）用两种方法分别用代数式表示图2的面积即可； （2）利用整式乘法的计算方法进行计算即可验证； （3）将，，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：∵边长为的正方形的面积为：，分部分来看的面积为， ∴； （2）解：∵ ， ∴； （3）解：∵，， ∴ ， ∴的值为30． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，用不同的方法表示同一个图形的面积是得出正确答案的关键． 3．在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题： (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系： 　． (2)若图1中a、b满足a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值； (3)如图2，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AC+BC=8，两正方形面积和S1+S2＝40，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)a2+ b2＝（a+b）2-2ab (2)29 (3)6 【分析】（1）阴影部分的面积可表示为两个小正方形的面积之和，也可表示成大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即可得到等量关系． （2）由（1）得到的等量关系：a2+b2=（a+b）2-2ab，代入数值求解即可； （3）设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，则S1＝a2，S2＝b2，可得a+b＝8，a2+b2＝40，根据（1），求出ab的值，即可得出答案．