专题05 多项式乘法中的规律性问题-【微专题】2022-2023学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

专题05 多项式乘法中的规律性问题 【例题讲解】 若规定，且m，n为正整数，例如，，． (1)计算； (2)试说明：； (3)利用（2）中的方法解决下面的问题，记，． ①a，b的值分别为多少？②试确定的个位数字． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ， ∴ ， ∵， ∴； （3）解：①由（2）可得：，，，….，， ∴， 同理可得：， ②∵，，∴， ∵，，，，…. ∴的个位数字以8，4，2，6为一个循环组依次循环，∵， ∴的各位数字是6． 【综合解答】 1．观察下列各式及其展开式 (a+b)2＝a2+2ab+b2 (a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 (a+b)5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 …… 请你猜想(2x﹣1)8的展开式中含x2项的系数是（　　） A．224 B．180 C．112 D．48 【答案】C 【分析】观察数字规律，发现各组数据的首尾均为1，中间数字分别为上一组数据相邻两个数字之和，分别写出左边式子的指数分别为6，7，8 的等式右边各项的系数，结合括号内含x项的次数为2，即可得出答案． 【详解】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为： 1，6，15，20，15，6，1； 1，7，21，35，35，21，7，1； 1，8，28，56，70，56，28，8，1； 故含x2项的系数为：22×（﹣1）6×28＝112． 故选：C． 【点睛】本题考查了二项式展开式中的系数规律问题，发现题中所列各式的系数规律是解题的关键． 2．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是_______． 【答案】-6051 【分析】首先确定项是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 【详解】解：由 可知，展开式中第二项为， ∴展开式中含项的系数是-6051． 故答案为：-6051． 【点睛】本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律是解题的关键． 3．观察下列各式：；；；……根据前面各式的规律可得到________． 【答案】-1 【分析】根据题目中的规律可看出，公式左边的第一项为（x-1），公式左边的第二项为x的n次幂开始降次排序，系数都为1，公式右边为-1即可． 【详解】由题目中的规律可以得出，-1， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了整式乘除相关的规律探究，掌握题目中的规律探究是解题的关键． 4．观察下列运算并填空． ； ； ； 根据以上结果，猜想并研究：__________． 【答案】 【详解】解： ; ; ; … 故答案为:. 三、解答题(共0分) 5．阅读材料：1261 年，我国南宋数学家杨辉著《详解九章算法》，在注释中提到“杨辉三角”解释了二项和的乘方规律．在他之前，北宋数学家贾宪也用过此方法，“杨辉三角”又叫“贾宪三角”． 这个三角形给出了（n 为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序、b的次数由小到大的顺序排列）的系数规律．例如：在三角形中第三行的三个数 1、2、1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数 1、3、3、1，恰好对应展开式中各项的系数等． 从二维扩展到三维：根据杨辉三角的规则，向下进行叠加延伸，可以得到一个杨辉三角的立体图形．经研究，它的每一个切面上的数字所对应的恰巧是展开式的系数． （1）根据材料规律，请直接写出的展开式； （2）根据材料规律，如果将看成，直接写出的展开式（结果化简）；若，求的值； （3）已知实数a、b、c，满足，且，求的值． 【答案】（1）； （2），=1或9； （3）或 【分析】（1）依据规律进行计算即可； （2）分子分母同时除以可化为，得出，从而求得，即可求得，代入即可求解； （3）将式子通过完全平方式变形为，设，，，通过与的关系联立阅读材料可求得的值． 【详解】解：（1）； （2） ∵ ∴，即，可得， ∵，可得 当时，= 当时，= （3）∵ 整理得到 ∵ 设，，， 则 ，解得 ∴ ∴ ∴当时，； 当时，； ∴或 【点睛】本题考查了乘法公式的运用；解题的关键是根据题目式子的形式进行恰当变形，从而求解，注意平方根的个数． 6．你能求（x一1）（x99+x98+x97+…+x+1）的值吗? 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形人手，分别计算下列各式的值． （1）（x－1）（x+1） =_____________； （2）（x—1）（ x2+x+1） =_____________； （3