22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图象（课件）-九年级数学上册同步辅导微课（人教版）

二次函数y=ax²+bx+c的图象 二次函数 主讲：黄继彬 1.二次函数顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象特点: (1)当a﹥0时,开口向上;当a﹤0时,开口向下; (2)对称轴是x=h; (3)顶点坐标是(h,k). 2.用配方法把二次函数一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成 顶点式的过程: x y 0 x y 0 a<0 a>0 3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征: (0,c) (0,c) x↗y↘ x↗y↗ x↗y↗ x↗y↘ ∴抛物线开口向上,对称轴是x=-1,顶点坐标是(-1,0). 例1.用配方法求下列二次函数的图象特征： (2)y=x2+2x+1 (3)y=-2x2+8x-8 (2)y=x2+2x+1=(x+1)2=(x+1)2+0, 其中a=1>0,h=-1,k=0 ∴抛物线开口向上,对称轴是x=3,顶点坐标是(3,-2). (3)y=-2x2+8x-8=-2(x2-4x)-8 =-2(x2-4x+4-4)-8 =-2〔(x-2)2-4〕-8 =-2(x-2)2+8-8 =-2(x-2)2+0 其中a=-2<0,h=2,k=0 ∴抛物线开口向下,对称轴是x=2,顶点坐标是(2,0). 例2.用公式法求下列抛物线的图像特征: (1)y=3x2+2x (2)y=-2x2+8x-8 例3.已知二次函数y=-2x2-8x-6, ①当x为何值时,y随x的增大而增大? ②当x为何值时,y随x的增大而减小? ③当x为何值时,y有最大(或最小)值,该值是多少? x y x=-2 O (-2,2) 由图象可知: ①当x<-2时,y随x的增大而增大; ②当x>-2时,y随x的增大而减小; ③当x=-2时,y最大值=2. 例4.二次函数y=2x2+bx+c的顶点坐标是(1,-2),求该函数关系式. 解:依题意得 ① ② 由①,得b=-4,代入②得 解之,得c=0 ∴该函数关系式为y=2x2-4x 例5.已知点(-2,y1)、(-5,y2)、(1,y3)在函数y=-2x2+4x+1的图象 上,则y1、y2、y3的大小关系如何? 解法一:∵当x=-2时,y1=-2×(-2)2+4×(-2)+1=-15 当x=-5时,y2=-2×(-5)2+4×(-5)+1=-69 当x=1时,y3=-2×12+4×1+1=3 ∴y3>y1>y2 解法二:∵a=-2<0, b=4 ∴抛物线开口向下, x=1 由图象可知,在对称轴的左边,即当x≤1时,y随x的增大而增大. ∵1>-2>-5 ∴y3>y1>y2 例6.如图,是二次函数y=ax2+bx+c的图象,则下列不等式是否成立?请说明理由: ①abc>0; ②a+b+c>0; ③b<a+c; ④b2-4ac>0. x y 0 解:(1)∵图象开口向上 ∴a>0 ∴b<0 ∵抛物线与y轴交于负半轴 ∵对称轴在y轴的右边 ∴c<0 ∴abc>0,即①式正确 (2)∵当x=1时,y=a+b+c<0 ∴②式错误 (3)∵当x=-1时,y=a-b+c>0 ∴a+c>b,即b<a+c,从而③式正确 (4)∵抛物线与x轴有两个交点 ∴一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根. ∴△=b2-4ac>0,即④式正确 1 -1 例7.如图,用总长为60米的篱笆墙围成矩形场地,矩形面积S随矩 形边长的变化而变化,当边长为多少时,场地的面积S最大? x米 (60-2x)米 x米 S ∴当x=15时,S最大值=450, 此时 60-2x=60-2×15=30(米) 解:设垂直于墙的边长为x米,则 S=x(60-2x) =-2x2+60x 答:当垂直于墙的边长为15米,而平行于墙的边长为30米时,场地 的面积S最大,为450米2. 1.选择题: (1)若b<0,则函数y=2x2+bx-5的图象的顶点在( )　 　 A.第一象限 　B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)如图,在同一坐标系中,函数y=ax+b与y=ax2+bx(ab≠0)的图 象只可能是( ) x y O A B x y O C x y o D x y O D D (3)若所求的二次函数的图象与抛物线y=2x2-4x-1有相同的顶 点,并且在对称轴左侧,y随x的增大而增大,在对称轴右侧, y随x的增大而减小,则所求的二次函数的解析式( ) A.y=x2-2x-2 B.y=ax2-2ax+a-3(a<0) C.y=-x2-4x-5