专题1.13 平方差公式（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.13 平方差公式（知识讲解） 【学习目标】 1. 掌握平方差公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；　　 2. 学会运用平方差公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 要点一、平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 要点二、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 【典型例题】 类型一、平方差公式➽➼运算✭✭化简求值 1．（2022春·八年级课时练习）计算： （1）；   （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3） 【分析】（1）、（2）直接根据平方差公式计算求解即可； （3）变形后运用平方差公式求解即可． 解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． 【点拨】本题考查平方公式的运用，理解并熟练运用平方差公式是解题关键． 举一反三： 【变式1】（2022春·江苏·九年级统考期中）已知，求的值． 【答案】； 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 解： ， ， ∴， ∴， 当时，原式． 【点拨】本题考查了整式的混合运算——化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式2】（2022春·上海嘉定·七年级统考期中）计算： 【答案】 【分析】根据平方差公式和单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项即可求解． 解：原式= = 【点拨】本题主要考查整式的混合运算，掌握平方差公式单项式乘多项式法则，合并同类项法则是关键． 类型二、平方差公式➽➼简便运算✭✭化简求值 2．（2022春·八年级课时练习）用乘法公式计算： (1) 40×39； （2）． 【答案】(1)1599 (2) 2012 【分析】（1）根据平方差公式即可化简运算． （2）把2013×2011利用平方差公式计算，再进一步计算化简即可． 解：（1）40×39 ＝（40+）×（40﹣） ＝1600﹣ ＝1599； （2） ＝ ＝ ＝2012 【点拨】本题考查了平方差公式的应用，关键是能把原式化成符合平方差公式的形式． 举一反三： 【变式1】（2022春·全国·八年级专题练习）简便计算： (1) ； （2）． 【答案】(1)150 (2) 【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 【点拨】本题主要考查了利用平方差公式进行计算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 【变式2】（2022春·全国·八年级期末）用简便方法计算： (1) ； (2) ； (3) ； 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）将式子运用平方差公式进行变形即可得； （2）先将前两项运用平方差公式进行变形，计算得出结果后再运用平方差公式进行变形计算即可得； （3）先将后两项运用平方差公式进行变形，再计算乘法，进行． （1）解：原式= = =； （2）解：原式= = = = = =； （3）解：原式= = = =1． 【点拨】本题考查了简便运算，解题的关键是掌握平方差公式． 类型三、平方差公式➽➼几何图形✭✭化简求值 3．（2022春·全国·八年级专题练习）探究活动： (1) 如图①，可以求出阴影部分的面积是 　 　．（写成两数平方差的形式） (2) 如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 　 　．（写成多项式乘法的形式） (3) 比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到公式 　 　． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）图①的面积为两个正方形的面积差，即； （2）拼成的长方形的长为，宽为，可表示面积； （3）由（1）（2）所表示的面积相等可得等式． （1）解：根题意可得， ． 故答案为：； （2）解：根据题意可得， 长方形的长为，宽为， 故答案为：； （3）解：， 即． 故答案为： 【点拨】本