18.2.3 正方形（课件）-八年级数学下册同步辅导微课（人教版）

平行四边形 正方形 主讲：黄继彬 定义一:有一组邻边相等的矩形叫做正方形. 注:正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角为直角 的菱形;换言之,既是矩形又是菱形的图形是正方形. 定义二:有一个角是直角的菱形叫做正方形. 1.正方形的定义: 平行四边形 矩形 菱形 正方形 2.平行四边形、矩形、菱形与正方形的关系： 注：正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形和特殊的菱形. 3.正方形的性质: (1)正方形的性质=矩形所有性质+菱形所有性质 边:对边平行,四边相等; 角:四个角都是直角; 对角线:相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. (2)正方形的独特性质: 两条对角线把正方形分成四个全等 的等腰直角三角形. 注：右图共有8个等腰直角三角形. A B D C O 4.正方形的对称性: 既是轴对称图形,又是中心对称图形. (5)有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形是正方形; 5.正方形的判定方法: (4)对角线相等的菱形是正方形; (2)对角线互相垂直的矩形是正方形; (1)有一组邻边相等的矩形叫做正方形(定义一); (3)有一个角是直角的菱形叫做正方形(定义二)； (6)既是矩形又是菱形的图形是正方形. 有一个角 是直角 有一组邻 边相等 有一组邻边相等（或对角线互相垂直） 有一个角是直角 （或对角线相等） 有一组邻边相等且 有一个角是直角 6.图示正方形的判定方法: 例1.如图所示,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连 结BE、DG.观察猜想BE与DG之间的大小关系与位置关系, 并证明你的猜想的结论． 证明:∵四边形ABCD和四边形 ECGF都是正方形 答:BE=DG,且BE⊥DG ∴BC=CD，CE=CG， ∠1=∠2=90° ∴△BCE≌△DCG(SAS) ∴BE=DG,且BE⊥DG 1 2 ∴△DCG可以看作由△BCE 绕着点C,按顺时针方向 旋转90°后得到 例2.如图所示,已知正方形ABCD,延长CB至E,连结AE,过点A作 AF⊥AE交DC于F．求证:△ADF≌△ABE． 证明:∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠BAD=∠1+∠2=90° ∵ AF⊥AE ∴ ∠EAF=∠2+∠3=90° 又∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠4=∠D=90°，AB=AD ∴ △ADF≌△ABE(ASA) ∴ ∠1=∠3 )1 )2 )3 4 例3.如图,正方形ABCD对角线交于O,点O是正方形A′B′C′O的一 个顶点,两个正方形的边长都是2,那么正方形A′B′C′O绕O 转动时,求图中两个正方形重叠部分的面积． 解：∵ABCD和A′B′C′O都是 边长为2的正方形 ∴OA=OB ∠AOB=∠A′OC′=90° ∠BAO=∠OBC=45° ∴∠AOB-∠BOE=∠A′OC′-∠BOE,即∠AOE=∠BOF. ∴△AOE≌△BOF ∴重叠部分面积为： S△BOE+S△BOF =S△BOE +S△AOE = S△AOB 例4.如图所示,在Rt△ABC中.CF为直角的平分线.FD⊥CA于D, FE⊥BC于E,则四边形CDFE是怎样的四边形,为什么？ 答:四边形CDFE是正方形. ∵FD⊥AC，FE⊥BC，AC⊥BC ∴四边形CDFE是矩形 ∵CF平分∠ACB,FD⊥AC，FE⊥BC， ∴FD=FE ∴四边形CDFE是正方形． 理由： 例5.已知:如图,顺次延长正方形ABCD 各边AB,BC,CD,DA至E,F,G, H,且使BE=CF=DG=AH． 求证:四边形EFGH是正方形． ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG 证明:∵四边形ABCD为正方形 ∴AB=BC=CD=DA, ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° ∴∠1=∠2=∠3=∠4=90° 又∵BE=CF=DG=AH ∴AB+BE=BC+CF=CD+DG=DA+AH 即AE=BF=CG=DH ∴四边形EFGH是菱形 ∵ ∠1=90° )1 3( )2 4( 5( )6 7( ∴∠5+∠6=90° ∴∠7+∠6=90° 即∠FEH=90° ∴菱形EFGH是正方形 ∴EF=FG=GH=HE, ∠5=∠7 例6.求证:对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.　　 已知:如图,四边形ABCD中对角线AC、BD相交于点O,且AC＝BD, AO＝CO,BO＝DO,AC⊥BD. 证明： ∵AO＝CO,BO＝DO ∵AC＝BD ∴四边形ABCD是正方形 求证:四边形ABCD是正方形. ∴四边形ABCD是平行四边形 ∴