18.2.1 矩形（课件）-八年级数学下册同步辅导微课（人教版）

平行四边形 矩形 主讲：黄继彬 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 一个角是 直角 两组对边 分别平行 平行 四边形 矩形 2.矩形的性质: (1)矩形具有平行四边形的所有性质； (2)矩形的独特的性质. 3.矩形的性质1:矩形的四个角都是直角. 已知：四边形ABCD是矩形 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90° 证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠C=90°,∠B+∠C=180° ∴∠B=180°－∠C=90° ∴∠D=∠B=90° 即∠A=∠B=∠C=∠D=90° D C B A ∴四边形ABCD是平行四边形, 且有一个直角, 不妨设∠C=90° 已知：四边形ABCD是矩形 求证：AC = BD A B C D 证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC=∠DCB=90° 又∵AB=DC,BC=CB ∴△ABC≌△DCB（SAS） ∴AC=BD 4.矩形的性质2:矩形的对角线相等. A B C D O 边：矩形对边平行且相等； 角：矩形的四个角都是直角； 对角线：矩形的对角线相等且互相平分. 5.矩形的性质: 6.直角三角形性质定理:直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半． 已知：△ABC中,∠ACB=90°,AD = BD 求证：CD = AB 证明：延长CD到E使DE=CD，连结AE、BE. A B C D ∵AD = BD,DE =CD ∴四边形ACBE是平行四边形 E 1 2 又∵∠ACB = 90° ∴ ACBE是矩形 ∴CE = AB （矩形的对角线相等） ∵CD= CE 1 2 ∴CD= AB 1 2 7.矩形的对称性：矩形既是轴对称图形,又是中心 对称图形. A B C D E F G H . (1)根据定义判定:有一个角是直角的平行四边形是矩形. (2)矩形的判定定理1:有三个角是直角的四边形是矩形. 8.矩形的判定方法： A B C D 已知:在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证:四边形ABCD是矩形. 证明: ∵ ∠A=∠B=∠C=90° ∴ ∠A+∠B=∠B+∠C=180° ∴ AD∥BC,AB∥DC ∴ 四边形ABCD是平行四边形 又∵∠A=90° ∴ ABCD是矩形（矩形的定义） (3)矩形的判定定理2:对角线相等的平行四边形是矩形. 已知:在 ABCD中,AC=BD. 求证: ABCD是矩形. 证明: ∵ 四边形ABCD是平行四边形 又∵ AC=BD,AB=BA ∴ AD∥BC,AD=BC A B C D O ∴ ABCD是矩形（矩形的定义） ∴ ∠DAB+∠CBA=180° ∴△ABC≌△BAD（SSS） ∴ ∠DAB=∠CBA=90° 例1.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°, AB=4㎝，求矩形对角线的长？ D C B A O 解：∵四边形ABCD是矩形 ∴ OA=OB=OC=OD ∵∠AOB=60° ∴△AOB是等边三角形 ∴OA=AB=4(㎝) ∴矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝) 例2.如图,在矩形ABCD中,BE⊥AC于E,若AB＝3,BC＝4, 试求出BE的长． 解：在矩形ABCD中,∠ABC＝90°, 例3.已知:如图,O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点,E、F、G、H分别是AO、 BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH. 求证:四边形EFGH是矩形. 证明： ∵四边形ABCD是矩形(已知) ∴AO=CO=BO=DO (矩形的对角线相等且互相平分) ∵AE=BF=CG=DH(已知) 即OE=OF=OG=OH ∴四边形EFGH是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形) 且OE+OG=OF+OH，即EG=FH ∴四边形EFGH是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形) ∴OA-AE=OB-BF=OC-CG=OD-DH 结论：一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形. A B C 证明:延长CD到E,使DE=CD,连接AE、BE. ∵CD是AB上的中线 ∴AD=DB 又∵CD=DE ∴四边形AEBC是平行四边形 即△ABC是直角三角形 D E 例4.已知:在△ABC中,CD是AB上的中线,且CD= AB 求证:△ABC是直角三角形. 又∵CD= AB 1 2 ∴CE=AB ∴平行四边形AEBC是矩形 ∴∠ACB=90° 1 2 例5.如图,△ABC中,点O是AC上一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的 平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证:EO