6.2.1空间向量基本定理-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

6.2.1空间向量基本定理 目标导航 课程标准 重难点 1.了解空间向量基本定理及其意义. 2.掌握空间向量的正交分解. 重点：空间向量基本定理. 难点：选择恰当的基底表示向量. 知识精讲 知识点01 空间向量的基本定理 空间向量基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3 基底和基向量 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量. 【即学即练1】若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】已知是空间的一个基底，下面向量中与向量，一起能构成空间的另外一个基底的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 正交基底和单位正交基底 正交基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底 单位正交基底 当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示 推论: 设 O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得++. 【即学即练3】设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量___________. 能力拓展 ◆考点01 空间向量基底概念及辨析 【典例1】（多选）设是空间的一个基底，若，，．给出下列向量组可以作为空间的基底的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）以下四个命题中正确的是（    ） A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B．若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底 C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面 D．向量，，共面，即它们所在的直线共面 【典例3】已知是空间的一组基， 且，，，. (1)能否构成空间的一组基底？若能，试用这一组基向量表示；若不能，请说明理由． (2)判断，，，四点是否共面，并说明理由． ◆考点02用空间向量表示基底 【典例4】已知三棱锥，M，N分别是对棱、的中点，点G在线段上，且，设，，，则__________．（用基底表示） 【典例5】在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设基向量，用这个基向量表示以下向量：、． 【典例6】．在三棱锥体中，，点为的中点，设. (1)记，试用向量表示向量； (2)若，求的值. ◆考点03 空间向量正交分解 【典例7】已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例8】已知向量，，是空间的一组单位正交基底，向量，，是空间的另一组基底，若向量在基底，，下的坐标为（2，1，3），p在基底，，下的坐标为（x，y，z），则x﹣y＝_____，z＝_____． 分层提分 题组A 基础过关练 一、单选题 1．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．已知三棱锥，点G是△ABC的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）.设，，，那么向量用基底可表示为（    ） A． B． C． D． 3．若为空间的一个基底，则下列各项中不能构成空间中基底的一组向量是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知是空间向量的一个基底，则可以与向量，，构成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．关于空间向量，以下说法不正确的是（    ） A．向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线 7．给出下列命题,其中正确的有（    ） A．已知向量,则 B．若向量共线,则向量所在直线平行或重合 C．已知向量,则向量与任何向量都不构成空间的一个基底 D．为空间四点,若构成空间的一个基底,则共面 8．下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B．不相等的两个空间向量的模可能相等 C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量 D．若是两个不共线的向量，且（且），则构成空间的一个基底 三、填空题 9．已知向量可作为空间的一组基底，若，且在基底下满足，则 __． 10．设是空间的一个单位正交基底，且向