12.3 角平分线的性质（课件）-八年级数学上册同步辅导微课（人教版）

全等三角形 角的平分线的性质 主讲：黄继彬 ２.分别以Ｍ,Ｎ为圆心.大于 ＭＮ的长为半径作弧, 两弧在∠AOB的内部交于Ｃ． 1. 用尺规作角的平分线. A Ｂ Ｏ Ｍ Ｎ Ｃ 作法： 1.以Ｏ为圆心,适当长为半 径作弧,交ＯＡ于Ｍ,交 ＯＢ于Ｎ. ３.作射线OC． 则射线ＯＣ即为所求． A B O C D 2. 用尺规过直线上一点作这条直线的垂线. 注意:过直线上一点作这条直线的垂线,本质上是作一个平角 的角平分线. 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D， PE⊥OB于点E 求证: PD=PE 3.角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等. 证明：∵OC平分∠AOB （已知） ∴∠1=∠2（角平分线的定义） ∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知） ∴ ∠3=∠4（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∠3=∠4（已证） ∠1=∠2（已证） OP=OP（公共边） ∴ △PDO≌△PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的 对应边相等） P A O B C E D 1 2 3 4 （1）用符号语言表示： ∴ PD=PE（角平分线上的点到 角两边的距离相等） ∵ ∠1=∠2, PD⊥OA, PE⊥OB （2）如图OC是∠AOB的平分线, P是OC上任一点,问PE=PD? 为什么? O A B E D C P 答：PD,PE没有垂直OA,OB,它们不代表角平分线上的点到 这个角两边的距离,所以不一定相等. P A O B C E D 1 2 3 4 4.角平分线的判定:到一个角的两边的距离相等的点 在这个角的平分线上. 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上． 证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠1＝∠2＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴∠3＝∠4 ∴点Q在∠AOB的平分线上. 1 2 )3 )4 ∴ 点Q在∠AOB的平分线上． (到一个角的两边的距离相等 的点在这个角的平分线上) (1)用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． (2)如图,点D和E分别在∠AOB的两边上, 且QE=QD,则OQ是否平分∠AOB呢? 答：不一定.因为QE和QD不一定表示点 Q到∠AOB两边的距离,所以角平分 线判定定理在这里不适用. O E D Q A B 到这个角的两边的距离相等. 在这个角的平分线上. 性质定理： 判定定理： 在角的平分线上的点, 题设 结论 到角的两边的距离相等的点， 题设 结论 互逆命题 5.两个定理的联系： 6.角平分线和线段垂直平分线相关定理的比较: 角的平分线 性质定理:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 判定定理:到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上. 角的平分线可以看作到角的两边距离相等的所有点的集合. 线段的垂直平分线 性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等. 判定定理:和一条线段两个端点距离相 等的点,在这条线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合. A B M N P O D E A B P C 解：设要截取的长度为xm,则 例1.要在Ｓ区建一个集贸市场,使它到公路和铁路距离相 等,且离公路和铁路的交叉处500米,该集贸市场应建 在何处?（比例尺1:20000） 解得：x=0.025m =2.5cm Ｓ Ｏ 公路 铁路 Ａ 答:该集贸市场应建在公路与铁路所夹锐角的角平分线上,且 距离交点的图上距离应为2.5cm的A点处. 2.5cm 例2.如图，在△ABC中,∠C=90°,AD是∠CAB的角平分线， DE⊥AB于点E,BC=8,BD=5,求DE. A B C D E 1 2 ∴DE=3 解：∵AD是∠CAB的角平分线 DE⊥AB， ∠C=90° ∴CD=DE(角平分线上的点到 角两边的距离相等) 又∵BC=8，BD=5 ∴CD=BC-BD=8-5=3 例3.如图，在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线, DE⊥AB,垂足为E. (1)已知CD=4cm,求AC的长； (2)求证：AB=A