3.4 向量在立体几何中的应用同步课时训练——2022-2023学年高二数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.4 向量在立体几何中的应用——2022-2023学年高二数学北师大版（2019）选择性必修第一册同步课时训练 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 2、已知平面内有一个点的一个法向量为,则下列点P中,在平面内的是( ) A. B. C. D. 3、如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 4、如图,正四棱锥中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且，则直线BC与平面PAC的夹角是( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 5、如图，在直三棱柱中，，，点D为BC的中点，则异面直线AD与所成的角为( ) A. B. C. D. 6、如图,点为矩形所在平面外一点,平面为线段的中点,,则点到平面的距离为( ) A. B. C. D. 7、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为( ) A. B. C. D. 8、已知直线的方向向量，直线的方向向量，且，则的值是( ) A.-6 B.6 C.14 D.-14 9、已知菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面DAC，则二面角的余弦值为( ) A.2 B. C. D. 10、在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 二、填空题 11、在棱长为2的正方体中，M,N分别是的中点，则直线MN与平面ABCD所成的角的余弦值为__________. 12、如图，在直三棱柱中，，，D为上一点.若二面角的大小为30°，则AD的长为_____________. 13、已知，，若，，且平面ABC，则_____________. 三、解答题 14、如图,和都是边长为2的正三角形,且它们所在平面互相垂直.平面,且. (1)设P是的中点,求证:平面. (2)求二面角的正弦值. 15、如图，PO是三棱锥的高，，，E是PB的中点. （1）求证：平面PAC； （2）若，，，求二面角正余弦值. 参考答案 1、答案：B 解析：如图，设BC的中点为D，连接、AD、， 易知即为异面直线AB与所成的角(或其补角) 设三棱柱的侧棱与底面边长均为1， 则，，， 由余弦定理，得 故选：B. 2、答案：B 解析：对于B,,则,所以,则点在平面内.同理可得,ACD不正确. 3、答案：C 解析：以过点O且垂直于平面SAC的直线为x轴，直线OC，OS分别为y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设， 则根据题意可得，，，， 所以，， 设异面直线AB与CM所成角为， 则. 故选：C. 4、答案：A 解析：如图所示,以为原点建立空间直角坐标系Oxyz. 设， 则. 则， 设平面的法向量为,则， 可求得， 则. ∴， ∴直线与平面所成的角为. 故选A. 5、答案：B 解析：解法一 取的中点，连接，.易证，故，所成的角就是AD，所成的角.，，D为BC的中点，，，，又，，，为直角三角形，，即异面直线AD与所成的角为，故选B. 解法二 易知AB，AC，两两垂直，以A为坐标原点，AB，AC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，即异面直线AD与所成的角为.故选B. 6、答案：B 解析：如图,以为原点,分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则,. 设平面的一个法向量为,则即 令,则. 点到平面的距离. 7、答案：D 解析：设的中点为,连接,则由题意知平面,分别以所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设侧棱长为,则,则. 所以. 8、答案：A 解析：,,故选A. 9、答案：D 解析：设菱形ABCD的边长为1，取AC的中点O，连接BO、DO，因为，所以，又平面平面DAC，平面平面，所以平面ACD，如图建系，则，，，， 所以，，. 设平面BCD的法向量为，则即 令，得，，则，易知平面CDA的一个法向量为，所以，故选D. 10、答案：A 解析：如图，设，则，，，， ， ， . 故选A. 11、答案： 解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以，平面ABCD的一个法向量为,所以，设直线MN与平面ABCD所成的角为，则，所以. 12、答案： 解析：如图，以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则，，，，.设，则点D的坐标为，. 设平面的法向量为，则令，得.