6.1 平面向量的概念（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教A版2019必修第二册)

6.1 平面向量的概念 重点：向量的概念、几何表示、单位向量、相等向量与共线向量的概念，会表示向量； 难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别与联系。 一、向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量. 2、数量：只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等)，称为数量． 【注意】 （1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移； （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素； （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 二、向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等. （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 【注意】 （1）用字母表示向量便于向量运算； （2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 三、向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 【注意】（1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量. 【注意】 （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量. 【注意】在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 四、向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定：与任一向量共线. 【注意】 1、零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别. 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 题型一 平面向量的基本概念 【例1】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）下列物理量中哪个是向量（ ） A．质量 B．功 C．温度 D．力 【变式1-1】（2022·高一课时练习）下列说法错误的是（ ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动 【变式1-2】（2022·全国·高一专题练习）下列命题中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-3】（2021·高一课时练习）下列说法： ①零向量是没有方向的向量； ②零向量的方向是任意的； ③零向量与任意一个向量共线. 其中，正确说法的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-4】（2022·高一课时练习）下列命题中正确的是（ ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同 B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量 C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同 D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 题型二 平面向量的几何表示 【例2】（2021秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与的模相等的向量（除本身）共有_____________个. 【变式2-1】（2022·高一课时练习）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量． （1），点A在点O北偏西45°方向； （2），点B在点O正南方向． 【变式2-2】（2022·高一课时练习）某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和． 【变式2-3】（2022·高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向． 题型三 相等向量与共线向量 【例3】（2020秋·宁夏银川·高一宁夏育才中学校考阶段练习）有下列命题： ①若，则； ②若，则四边形是平行四边形； ③若，，则； ④若，，