1.5数学归纳法课件-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

*§5　数学归纳法 南阳市五中 要点　数学归纳法 (1)概念：用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法． (2)步骤：①证明：当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立； ②假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立． 根据①②可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立． 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)推证n＝k＋1时可以不用n＝k时的假设．(　　) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　　) (3)不管是等式还是不等式，用数学归纳法证明时由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　) (4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　　) × × × √ 2．已知f(n)＝＋…＋，则(　　) A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝ B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝ C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝ D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝ 答案：D 解析：结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝.故选D. 3．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(　　) A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1 B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1 C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1 D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 答案：D 解析：因为将式子：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1中n用k＋1替换得：当n＝k＋1时，有1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1.故选D. 4．用数学归纳法证明命题“1＋＋…＋>(n∈N＋，且n≥2)” 时，第一步要证明的结论是__________________． 1＋> 解析：因为n≥2，所以第一步要证的是当n＝2时结论成立，即1＋>. 题型一　证明恒等式 例1　用数学归纳法证明1－＋…＋＝＋…＋(n∈N*)． 解析：(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即 1－＋…＋＝＋…＋， 那么当n＝k＋1时， 左边＝1－＋…＋ ＝＋…＋ ＝＋…＋. 上式表明当n＝k＋1时，命题也成立． 由(1)(2)知，命题对一切正整数均成立． 用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： (1)n＝n0时，等式的结构． (2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项． 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项． ②代数式相邻两项之间的变化规律． ③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系． 跟踪训练1　 用数学归纳法证明： ＋…＋＝(n∈N＋) 证明：(1)当n＝1时， 左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边， 所以等式成立． (2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有＋…＋＝， 则当n＝k＋1时， ＋…＋ ＝＝＝ ＝＝. 所以当n＝k＋1时，等式也成立， 由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立． 题型二　证明不等式 例2　用数学归纳法证明： ＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)． 证明：(1)当n＝2时，左边＝＝，右边＝1－＝. 明显<，所以不等式成立． (2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时， 不等式成立， 即＋…＋<1－， 则当n＝k＋1时， ＋…＋<1－ ＝1－＝1－<1－＝1－. 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立． 用数学归纳法证明不等式的四个关键 (1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1. (2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设． (3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明． (4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、放缩法等． 跟踪训练2　求证：＋…＋＞(n≥2，n∈N*)． 证明：(1)当n＝2时，左边＝＞