（挑战压轴）专项2.6 二次函数与面积有关问题（3大方法）-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）

（挑战压轴）专项2.6 二次函数与面积有关问题（3大方法） 【方法技巧】 【方法1直接法】 一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边 【方法2 铅锤法】 （1）求 A、B 两点水平距离，即水平宽； （2）过点 C 作 x 轴垂线与 AB 交于点 D，可得点 D 横坐标同点 C； （3）求直线 AB 解析式并代入点 D 横坐标，得点 D 纵坐标； （4）根据 C、D 坐标求得铅垂高 （5） 【方法3 其他面积方法】 如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等． 如图2，同底三角形的面积比等于高的比． 如图3，同高三角形的面积比等于底的比． 如图1 如图2 如图3 【考点1：铅锤法求面积】 1．（2022秋•红安县期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC． （1）求抛物线的表达式； （2）D为抛物线上第一象限内一点，求△DCB面积的最大值； 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4）， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4； （2）如图，过点D作DE∥y轴交BC于点E，交x轴于点F， ∵B（8，0），C（0，4）， ∴直线BC解析式为y＝﹣x+4， 设D（m，﹣m2+m+4）， 则E（m，﹣m+4）， ∵D为抛物线上第一象限内一点， ∴DE＝DF﹣EF＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m， ∴△DCB面积＝8×DE＝4（﹣m2+2m）＝﹣m2+8m＝﹣（m﹣4）2+16， ∴当m＝4时，△DCB面积最大，最大值为16； 2．（2022秋•芝罘区期中）如图①，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1，D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m． （1）求抛物线的表达式； （2）求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标； 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4， ∴C （0，4）， 当y＝0时，x+4＝0， ∴x＝﹣3， ∴A （﹣3，0）， ∵对称轴为直线x＝﹣1， ∴B（1，0）， ∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3）， ∴4＝﹣3a， ∴a＝﹣， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4； （2）如图①， 作DF⊥AB于F，交AC于E， ∴D（m，﹣﹣m+4），M（m，m+4）， ∴DM＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m， ∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m， ∵S△ABC＝＝＝8， ∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+， ∴当m＝﹣时，S最大＝， 当m＝﹣时，y＝﹣＝5， ∴D（﹣，5）； 3．（2022秋•宾阳县期中）已知抛物线y＝﹣x2﹣bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点Q，使得△ABQ的面积最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2﹣bx+c的图象经过点A（﹣3，0）和点B（0，3）， ∴， 解得b＝2，c＝3， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3． （2）结论：存在． 设Q（x，﹣x2﹣2x+3）是第二象限的抛物线上一点， 过点Q作QD⊥x轴交直线AB于点E，则E的坐标为（x，﹣x+3）， ∴QE＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2﹣3x， ∴S△ABQ＝S△BQE+S△AQE＝PE•OA＝﹣（x2+3x）＝﹣（x+）2+， ∴当x＝时，S△ABQ取得最大值． ∴当x＝时，y＝﹣x2﹣2x+3＝， ∴Q（，）． 所以，在第二象限的抛物线上，存在一点Q，使得△ABQ的面积最大；Q点的坐标为（，）． 4．（2022秋•龙马潭区期中）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值，面积最大值是多少？ 【解答】解：（1）∵抛物线过点B（6，0），C（﹣2，0）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣6）（x+2）（a≠0）， 将点A（0，6）代入y＝a（x﹣6）（x+2），得﹣12a＝6， 解得a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣6）（x+2）＝﹣x2+2x+6； （2）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k