2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与线段周长问题

中考专题训练——二次函数与线段周长问题 1.如图,二次函数的图像经过点和点,点B的坐标为. (1)求二次函数的解析式; (2)若y轴上有一点,点M是抛物线上一动点,过点M作轴于点E. ①求证:点M在线段的垂直平分线上; ②若点,求的周长的最小值. 2.如图,对称轴为直线的抛物线与轴相交于A,两点,其中A点的坐标为. (1)求该二次函数解析式; (2)已知点为抛物线与轴的交点. ①若点在抛物线上,且,请直接写出点的坐标; ②设点是线段上的动点,作轴交抛物线于点,求线段长度的最大值. 3.已知抛物线经过点、、三点,抛物线与y轴相交于点C,直线经过点B,C两点. (1)求抛物线的函数解析式; (2)不等式的解集是 ; (3)点P为对称轴上一点,当的值最小时,求出点P的坐标. 4.如图,抛物线与一直线相交于、两点,与y轴交于点N,其顶点为D. (1)求抛物线及直线的函数关系式; (2)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点,求的面积的最大值; (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使的值最小.若存在,请求出M点的坐标;若不存在,请说明理由. 5.如图,抛物线交x轴于点A(1,0),交y轴交于点B,对称轴是直线x=2. (1)求抛物线的解析式; (2)若在抛物线上存在一点D,使△ACD的面积为8,请求出点D的坐标. (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使△PAB的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 6.如图,抛物线的图象与x轴交于点A点和B(3,0),与y轴交于点C(0,3),连接BC. (1)求抛物线的解析式; (2)若点M是抛物线在x轴下方上的一动点,过点M作MNy轴交直线BC于点N,求线段MN的最大值; (3)在(2)的条件下,当MN取得最大值时,在抛物线的对称轴上是否存在点P和Q,使得以点M、N、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出所有点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 7.已知抛物线(a为常数,)交x轴于点A(6,0),点,交y轴于点C. (1)求点C的坐标和抛物线的解析式; (2)P是抛物线上位于直线AC上方的动点,过点P作y轴平行线,交直线AC于点D,当PD取得最大值时,求点P的坐标; (3)M是抛物线的对称轴l上一点,N为抛物线上一点;当直线AC垂直平分的边MN时,求点N的坐标. 8.如图,抛物线的对称轴为直线x=﹣1,与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于C,OA=OC,点A的坐标为(﹣3,0). (1)求抛物线的表达式; (2)若点P在抛物线上,且,求点P的坐标; (3)设点Q是线段AC上的动点,作QD⊥x轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值. 9.如图,抛物线y=ax2+bx﹣4交x轴于A,B两点,交y轴于点C,OB=2OC=4OA,连接AC,BC. (1)求抛物线的解析式; (2)点D是抛物线y=ax2+bx﹣4的图象上在第四象限内的一动点,DE⊥x轴于点E,交BC于点F.设点D的横坐标为m. ①请用含m的代数式表示线段DF的长; ②已知DG∥AC,交BC于点G,请直接写出当时点D的坐标. 10.如图1,以点M(1,4)为顶点的抛物线与直线y=kx+b 交于A,B两点,且点A坐标为(4,﹣),点B在y轴上. (1)求直线和抛物线解析式; (2)若点D是抛物线上位于直线AB上方的一点(如图2),过点D作DE⊥x轴于点E,交直线AB于点F,求线段DF长度的最大值; (3)在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使以点A,M,P为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 11.已知二次函数的图象与x轴交于点A,与y轴交于点,顶点为. (1)求该二次函数的解析式; (2)过A、C两点作直线,并将线段AC沿该直线向上平移,记点A、C分别平移到点D、E处.若点F在这个二次函数的图象上,且是以EF为斜边的等腰直角三角形,求点F的坐标; (3)已知点满足,点M、N分别是x轴、直线AC上的动点,当的最小值为时,求n的值. 12.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点,直线恰好经过B、C两点. (1)求二次函数的表达式; (2)点D为第三象限抛物线上一点,连接BD,过点O作,垂足为E,若,求点D的坐标; (3)设F是抛物线上的一个动点,连结AC、AF,若,求点F的坐标. 13.综合与探究 如图,抛物线与x轴交于A,B两点,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C. (1)求点A,B和C的坐标; (2)点E是直线上的动点,过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当时,求点E的横坐标; (3)点P从点B出发沿以1个单位长度/秒的速度向终点C运动,同时,点Q从点O出发以相同的速度沿x轴的正半轴向终点B运动,一点到达,两点同时停止运动.连接