【技巧归纳+能力拓展】专项训练四 立体几何（考点3 空间几何中的探索性问题）-备战2023年高考数学二轮复习《大题拆小做 题型轻松过》专项训练（新高考专用）

新高考数学 大题专项训练 学科精品资源 专项四 立体几何 考点3 空间几何中的探索性问题 大题 拆解技巧 【母题】(2021年全国甲卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1. (1)证明:BF⊥DE. (2)当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小? 【拆解1】已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1,证明:BA⊥BC. 【拆解2】本例条件不变,证明:BF⊥DE. 【拆解3】本例条件不变,问当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小? 小做 变式训练 《九章算术》是我国古代的数学著作,是“算经十书”中最重要的一部,它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AA1=AB=AC=1,M,N分别是CC1,BC的中点,点P在线段A1B1上. (1)若P为A1B1的中点,求证:PN∥平面AA1C1C. (2)是否存在点P,使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°?若存在,试确定点P的位置;若不存在,请说明理由. 【拆解1】《九章算术》是我国古代的数学著作,是“算经十书”中最重要的一部,它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AA1=AB=AC=1,M,N分别是CC1,BC的中点,点P在线段A1B1上.若P为A1B1的中点,求证:PN∥平面AA1C1C. 【拆解2】本例条件不变,求平面PMN的法向量. 【拆解3】本例条件不变,问是否存在点P,使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°?若存在,试确定点P的位置;若不存在,请说明理由. 通法 技巧归纳 解决立体几何中探索性问题的基本方法 (1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理. (2)探索性问题的关键是设点:①空间中的点可设为(x,y,z);②坐标平面内的点其中一个坐标为0,如平面xOy上的点为(x,y,0);③坐标轴上的点两个坐标为0,如z轴上的点为(0,0,z);④直线(线段)AB上的点P,可设为=λ,表示出点P的坐标,或直接利用向量运算. 突破 实战训练 <基础过关> 1.如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,△PAC是边长为4的等边三角形,BC=2,二面角P-AC-B的大小为60°,点M为PA的中点. (1)请你判断平面PAB垂直于平面ABC吗?若垂直,请证明;若不垂直,请说明理由. (2)求CM与平面PBC所成的角的正弦值. 2.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1B,BC的中点. (1)求证:A1E,AB,DF三线共点. (2)线段CD上是否存在一点G,使得直线FG与平面A1EC1所成的角的正弦值为?若存在,请指出点G的位置,并求二面角E-A1C1-G的平面角的余弦值大小;若不存在,请说明理由. 3.如图,C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,平面PAC⊥平面ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E,F分别是PC,PB的中点,记平面AEF与平面ABC的交线为直线l. (1)求证:直线l⊥平面PAC. (2)直线l上是否存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余?若存在,求出|AQ|的长;若不存在,请说明理由. 4.在图1所示的平面图形ABCD中,△ABD是边长为4的等边三角形,BD是∠ADC的平分线,且BD⊥BC,M为AD的中点,以BM为折痕将△ABM折起得到四棱锥A-BCDM(如图②所示). (1)设平面ABC和平面ADM的交线为l,在四棱锥A-BCDM的棱AC上求一点N,使直线BN∥l; (2)若二面角A-BM-D的大小为60°,求平面ABD和平面ACD所成的锐二面角的余弦值. <能力拔高> 5.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的菱形,且BC=BD,DD1⊥平面ABCD,AA1=1,BE⊥CD于点E. (1)试问在线段A1B1上是否存在一点F,使得AF∥平面BEC1?若存在,求出点F的位置;若不存在,请说明理由. (2)在(1)的条件下,求平面ADF和平面BEC1所成的锐二面角的余弦值. 6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=2,AA1=3,M