第07讲 平面向量数量积的坐标表示-2022-2023学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第二册）

第07讲 平面向量数量积的坐标表示 1．平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设分别是x轴，y轴上的单位向量．由于向量分别等价于，根据向量数量积的运算，有 ，由于为正交单位向量，故，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 2．平面向量的模的坐标表示 （1）平面向量的模的坐标公式 若向量，由于，所以． 其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根． （2）平面内两点间的距离公式 已知原点，点，则，于是． 其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离． 3．平面向量垂直的坐标表示 已知非零向量，则． （如果a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b的充要条件为x1y2–x2y1=0） 4．平面向量夹角的坐标表示 已知非零向量，是与的夹角，则． 考点1：平面向量数量积的坐标运算 【例1】已知平面直角坐标系中，点为原点，、. （1）求的坐标及； （2）求． 【例2】在直角梯形中，已知，对角线交于点，点在上，且．求的值； 数量积运算的途径及注意点 （1）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． （2）对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解． 1．已知，，则（ ） A．0 B． C．2 D． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(　　) A．5 B．4　　　 C．3　　　 D．2 3. 在平行四边形ABCD中，=(1，0)，=(2，2)，则等于（ ） A．4 B．-4 C．2 D．-2 4．已知，，，求，，． 考点2：向量模的坐标表示 【例3】已知向量，，则（ ） A． B． C． D． 【例4】设，向量且，则（ ） A． B． C． D． 求向量的模的两种基本策略 （1）字母表示下的运算： 利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． （2）坐标表示下的运算： 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝. 【变式训练】 1．已知向量， ，若则（ ） A． B．5 C． D． 2．已知向量，，若，则（ ） A．5 B． C． D．10 3．已知向量，若，则（ ） A． B． C． D．5 4．已知向量则（ ） A． B． C． D．5 考点3：向量的夹角与垂直问题 两个向量垂直的充要条件a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 【探究问题】 1．设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？ 2．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于多少？ 【例5】（1）已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞)　　　　 B． C．(－∞，－2) D．(－2,2) （2）已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标． 【变式训练】 1．将本例(1)中的条件“a＝(2,1)”改为“a＝(－2,1)”，“锐角”改为“钝角”，求实数k的取值范围． 2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“”，求k的值． 1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤 （1）求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积． （2）求模．利用|a|＝计算两向量的模． （3）求夹角余弦值．由公式cos θ＝求夹角余弦值． （4）求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值． 2．涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决． 1．已知平面向量，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，，则实数k的值为（ ） A． B． C．6 D． 3．若，，，则（ ） A．1 B． C．0 D．2 4．已知向量，