11.3.2多边形的内角和学案2022-2023学年人教版八年级上册数学

11.3.2多边形的内角和 一、问题导入 思考：我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方的内角和都等于360°.那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗？ ( A B C D )二、多边形的内角和 1.如图，从四边形的一个顶点出发可以引 条 对角线，它们将四边形分成 个三角形， 那么四边形的内角和等于 度. 五边形呢？六边形呢？n边形呢？自主探究，并填空： 从五边形一个顶点出发可以引 对角线，它们将五边形分成 个三角形，五边形的内角和等于 ； 从六边形一个顶点出发可以引 对角线，它们将六边形分成 个三角形，六边形的内角和等于 ； 从n边形一个顶点出发，可以引 对角线，它们将n边形分成 个三角形，n边形的内角和等于 。 思考：把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形内角和公式吗？ 例1.如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ 如图，已知四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B与∠D的关系． 练习： 1.一个八边形的内角和是 . 2.一个多边形的内角和等于1260°，它是 边形. 归纳：已知多边形的内角和求边数n的方法： 2.正多边形的内角度数：因为正n边形的内角和为 ，所以正n边形的每个内角的度数为 。 正四边形的每个内角的度数为 ，正五边形的每个内角的度数为 ，正六边形的每个内角的度数为 ，正八边形的每个内角的度数为 ··· 例2：一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是几边形？ 归纳：已知正多边形每个内角的度数k求边数n的方法： 例3:如图，求∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数. ( A B C D E F )变式1：如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠F的度数. ( A B C D E F )变式2：如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠F的度数. 练习：教材第25页第8、9、10题 三、三角形的外角和 1.探究：多边形的外角和：如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和． 如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值． 如果把六边形换成n边形可以得到怎样的结果： 多边形的外角和等于 2.正n边形的外角和等于 ，每一个外角的度数为 ，因为每一个外角和每一个内角的和为180°，故正n边形的每一个内角的度数还可以是 . 例4：已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是（ ） A.正五边形 B.正六边形 C.正七边形 D.正八边形 练习1：教材第24页练习1、2题 练习2：一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数是 . 练习:3：一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？ 四、拓展提升 1.利用多边形的内角和及某个内角的取值范围求多边形对角线条数 例5：一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510度，则这个多边形对角线的条数是（ ）条. A.27 B.35 C.44 D.54 练习4：一个多边形除了一个内角外，其余内角和为1680°，这个多边形的边数是 。 练习5：一个多边形的内角和与一个外角的度数和为1350°，这个多边形的是几边形？ 2.利用多边形的外角和的不变性巧求线段的和 例6：如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°， 再沿直线前进10米，又向左转30°，···，照这样走下去， 小亮第一次回到出发点A时，他一共走了 米. 3.利用多边形内角和探究多边形的截角问题 例7：一个多边形截取一个角后，形成的一个新多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是 . 4.平面镶嵌问题 例8：以下边长相等的两种多边形，可以进行平面镶嵌的有 ①正三角形与正方形 ②正三角形与正五边形 ③正三角形与正六边形 ④正方形与正六边形 练习：用边长相等的正三角形与正六边形进行平面镶嵌，有 种镶嵌办