专题7.4 三角形内角和定理的运用【八大题型】-2022-2023学年七年级数学下册举一反三系列（苏科版）

专题7.4 三角形内角和定理的运用【八大题型】 【苏科版】 【题型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】 1 【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】 3 【题型3 三角形内角和定理与平行线的性质综合】 7 【题型4 三角形内角和定理与折叠性质综合】 10 【题型5 三角形内角和定理与新定义问题综合】 14 【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】 18 【题型7 判断直角三角形】 24 【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】 28 【知识点1 三角形的内角及内角和定理】 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且 小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 【题型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】 【例1】（2021秋•涡阳县期末）在△ABC中，已知∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，求∠A的度数． 【分析】将第一个等式代入第二等式用∠A表示出∠C，再根据三角形的内角和等于180°列方程求出∠A，然后求解即可． 【解答】解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°， ∴∠C＝∠A+10°+25°＝∠A+35°， 由三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°， 所以，∠A+∠A+10°+∠A+35°＝180°， 解得∠A＝45°． 【变式1-1】（2022春•武侯区校级期中）如图，点E、D分别在AB、AC上．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠1+∠2＝　 　°． 【分析】根据三角形的内角和定理列式整理可得∠1+∠2＝∠B+∠C，从而可求解． 【解答】解：∵∠1+∠2+∠A＝180°，∠B+∠C+∠A＝180°， ∴∠1+∠2＝∠B+∠C， ∵∠B＝30°，∠C＝50°， ∴∠1+∠2＝∠B+∠C＝30°+50°＝80°． 故答案为：80°． 【变式1-2】（2022•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是 　 　度． 【分析】分两种情况：△ABC为锐角三角形或钝角三角形，然后利用三角形内角和定理即可作答． 【解答】解：当△ABC为锐角三角形时，如图， ∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°， ∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°； 当△ABC为钝角三角形时，如图， ∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°， ∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°． 综上所述，∠BAC＝80°或40°． 故答案为：80或40． 【变式1-3】（2022•南京模拟）已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为45°，则∠BAC等于 　 　． 【分析】根据三角形的内角和定理．分∠BAC与这个45°的角在一个四边形内，及∠BAC与这个45°的角不在一个四边形内两种情况讨论． 【解答】解：若∠BAC与这个45°的角在一个四边形BCDE内， 因为BD、CE是△ABC的高，设BD的延长线交CE的延长线于O． ∴∠AEC＝∠ADB＝90°， ∵∠O＝45°， ∴∠DAE＝180°﹣45°＝135° ∴∠BAC＝∠DAE＝135°； 若∠BAC与这个45°的角不在一个四边形BCDE内， 因为BD、CE是△ABC的高， 如图：∠BAC＝180°﹣（180°﹣45°）＝45°， 所以∠BAC等于45度． 若∠ACB是钝角，∠A是锐角， 易知∠ABD＝40°，∠A＝45° 综上所述，∠A的值为45°或135°． 故答案为：45°或135°． 【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】 【例2】（2022春•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADB的度数为（　　） A．100° B．90° C．80° D．50° 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠B与∠BAD的度数即可求解． 【解答】解：∵CE⊥AB， ∴∠BEC＝90°， ∵∠BCE＝40°， ∴∠B＝50°， ∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC＝30°， ∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD ＝180°﹣50°﹣30° ＝100°． 故选：A． 【变式2-1】（2021秋•靖西市期末）△ABC中，∠C＝50°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，点F为AE上一点，FD⊥BC于点D，则∠EFD的度数为（　　） A．5 B．10 C．12 D．20 【分析】根据三角形的内角和为180°即可得出结论． 【解答】解：∵∠C＝50°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠A＝180