大题训练小练10-湖南师范大学附属中学2023届高三数学一轮复习专项

1-1．如图，多面体中，四边形是边长为2的菱形，，为等腰直角三角形，，平面⊥平面，且，． （1）证明：⊥平面； （2）若为棱上的一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 1-2．已知数列中，，前项和为，且满足.证明：数列是等差数列，并求的通项公式； 1-3．如图所示，半圆O的直径，点C在的延长线上，，点P为半圆弧上的动点．以为一边在半圆外作矩形，其中．设． （1）将表示为的函数； （2）求和矩形的面积之和的最大值． 1-1．如图，多面体中，四边形是边长为2的菱形，，为等腰直角三角形，，平面⊥平面，且，． （1）证明：⊥平面； （2）若为棱上的一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）2. 【详解】 （1）证明：取AD的中点H，因为为等腰直角三角形，，所以， 因为平面平面，且平面平面，所以平面， 设，的交点为O，连接OF，OH，则，且， 因为，，所以且，所以四边形为平行四边形． 故且，所以平面，又平面，从而， 在菱形中，有，因为，所以平面； （2）以O为原点，以OB，OC，OF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 有，，，． 设，，，， 得，，即，从而， 设平面的一个法向量为， 由，得，取， 由已知可得，得，所以或，所以． 1-2．已知数列中，，前项和为，且满足.证明：数列是等差数列，并求的通项公式； 【答案】证明见解析， 证明：因为，所以，所以，， 所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，，所以， 当时，， 当时，等式也成立，所以； 1-3．如图所示，半圆O的直径，点C在的延长线上，，点P为半圆弧上的动点．以为一边在半圆外作矩形，其中．设． （1）将表示为的函数； （2）求和矩形的面积之和的最大值． 【答案】 （1）（2）20 （1）连接，则，在中，由余弦定理，得， 所以． （2）依题意， ， 所以和矩形的面积之和， 其中．所以当，即时，S取得最大值20． 学科网（北京）股份有限公司 $