大题训练小练6-湖南师范大学附属中学2023届高三数学一轮复习专项

1-1．在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．条件①：；条件②：的周长为；条件③：的面积为； 1-2．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列是等差数列：②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 1-3．如图1，在等边中，点D､E分别为边､上的动点且满足，记.将沿翻折到的位置并使得平面平面，连接，得到图2，点N为的中点. （1）当平面时，求的值； （2）试探究：随着入值的变化，二面角的大小是否改变？如果是，请说明理由；如果不是，请求出二面角的正弦值大小. 1-4．已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 1-5．已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 参考答案 1-1．在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：；条件②：的周长为；条件③：的面积为； 【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析． 【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解； （2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在； 若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求； 若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求. 【详解】 （1），则由正弦定理可得， ，，，，，解得； （2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，与矛盾，故这样的不存在； 若选择②：由（1）可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得， ，则周长，解得，则， 由余弦定理可得边上的中线的长度为：； 若选择③：由（1）可得，即，则，解得， 则由余弦定理可得边上的中线的长度为：. 1-2．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列是等差数列：②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【分析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证； 选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证； 选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列. 【详解】选①②作条件证明③：设，则， 当时，；当时，； 因为也是等差数列，所以，解得；所以，所以. 选①③作条件证明②：因为，是等差数列，所以公差， 所以，即，因为，所以是等差数列. 选②③作条件证明①：设，则，当时，； 当时，； 因为，所以，解得或； 当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列； 当时，，不合题意，舍去.综上可知为等差数列. 1-3．如图1，在等边中，点D､E分别为边､上的动点且满足，记.将沿翻折到的位置并使得平面平面，连接，得到图2，点N为的中点. （1）当平面时，求的值； （2）试探究：随着入值的变化，二面角的大小是否改变？如果是，请说明理由；如果不是，请求出二面角的正弦值大小. 【解析】（1）证明：取的中点为P，连接，， 因为，，所以，又， 所以，即N，E，D，P四点共面，又面，面， 平面平面，所以，即为平行四边形， 所以，且，即，即. （2）取的中点O，由平面平面，且，所以平面，如图建立空间直角坐标系， 不妨设，则，， ，所以，. 设平面的法向量为，则， 即，令，即，又平面的法向量，所以，即随着值的变化，二面角的大小不变. 且，所以二面角的正弦值为. 1-4．已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2） 【分析】 (1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围. 【详解】(1)当时，，， 由于，故单调递增，注意到，故： 当时，单调递减，当时，单调递增. (2)由得，其中， ①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②.当时，分离参数a得 记，，令， 则，，故单调递增，，故函数单调递增，， 由可得：恒成立，故当时，，单调递增； 当时，，单调递减；因此，, 综上可得，实数a的取值范围是. 1-5．已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即