2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与特殊的三角形

中考专题训练——二次函数与特殊的三角形 1.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣(m+n)x+mn(m>n)与x轴相交于A、B两点(点A位于点B的右侧),与y轴相交于点C. (1)若m=2,n=1,求A、B两点的坐标; (2)若A、B两点分别位于y轴的两侧,C点坐标是(0,﹣1),求∠ACB的大小; (3)若m=2,△ABC是等腰三角形,求n的值. 2.已知抛物线y=-x2+2mx-m2+1与x轴交点为A、B(点B在点A右侧),与y轴交于点C. (1)试用含m的代数式表示A、B两点的坐标; (2)当点B在原点的右侧,点C在原点的下方时,若是等腰三角形,求抛物线的解析式; (3)已知一次函数,点P(n,0)是x轴上一个动点,在(2)的条件下,过点P作垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M,交抛物线于点N,若只有当时,点M位于点N的下方,求这个一次函数的解析式. 3.已知抛物线y=x2+bx+c过点(-6,-2),与y轴交于点C,且对称轴与x轴交于点B(-2,0),顶点为A. (1)求该抛物线的解析式和A点坐标; (2)若点D是该抛物线上的一个动点,且使△DBC是以B为直角顶点BC为腰的等腰直角三角形,求点D坐标; (3)若点M是第二象限内该抛物线上的一个动点,经过点M的直线MN与y轴交于点N,是否存在以O、M、N为顶点的三角形与△OMB全等?若存在,请求出直线MN的解析式;若不存在,请说明理由. 4.平面直角坐标中,对称轴平行于y轴的抛物线经过原点O,其顶点坐标为(3,);Rt△ABC的直角边BC在x轴上,直角顶点C的坐标为(,0),且BC=5,AC=3(如图1). 图1 图2 (1)求出该抛物线的解析式; (2)将Rt△ABC沿x轴向右平移,当点A落在(1)中所求抛物线上时Rt△ABC停止移动.D(0,4)为y轴上一点,设点B的横坐标为m,△DAB的面积为s. ①分别求出点B位于原点左侧、右侧(含原点O)时,s与m之间的函数关系式,并写出相应自变量m的取值范围(可在图1、图2中画出探求); ②当点B位于原点左侧时,是否存在实数m,使得△DAB为直角三角形?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由. 5.如图,抛物线与x轴交于点A(1,0)和B(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)若抛物线的对称轴交x轴于点E,点F是位于x轴上方对称轴上一点,FC∥x轴,与对称轴右侧的抛物线交于点C,且四边形OECF是平行四边形,求点C的坐标; (3)在(2)的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点P,使△OCP是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 6.如图,在平面直角坐标系xoy中,矩形ABCD的边AB在x轴上,且AB=3,BC=,直线经过点C,交y轴于点G. (1)求C,D坐标; (2)已知抛物线顶点上,且经过C,D,若抛物线与y交于点M连接MC,设点Q是线段下方此抛物线上一点,当点Q运动到什么位置时,△MCQ的面积最大?求出此时点Q的坐标和面积的最大值. (3)将(2)中抛物线沿直线平移,平移后的抛物线交y轴于点F,顶点为点E(顶点在y轴右侧).平移后是否存在这样的抛物线,使⊿EFG为等腰三角形?若存在,请求 出此时抛物线的解析式;若不存在,请说明理由. 7.如图,已知直线AB经过点(0,4),与抛物线y=x2交于A,B两点,其中点A的横坐标是. (1)求这条直线的函数关系式及点B的坐标. (2)在x轴上是否存在点C,使得△ABC是直角三角形?若存在,求出点C的坐标,若不存在请说明理由. (3)过线段AB上一点P,作PM∥x轴,交抛物线于点M,点M在第一象限,点N(0,1),当点M的横坐标为何值时,MN+3MP的长度最大?最大值是多少? 8.已知抛物线E1:y=x2经过点A(1,m),以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2),点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′,B′. (1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式; (2)如图1,在第一象限内,抛物线E1上是否存在点Q,使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图2,P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点,连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′,求△PAA′与△P′BB′的面积之比. 9.如图,直线分别与轴、轴交于点与点,函数的图像经过点.点是抛物线上的一个动点,过点作轴的垂线,过点作于点 (1)求该二次函数的解析式; (2)连接,当为直角三角形时,求的长; (3)将绕点逆时针旋转,得到,当点的对应点落在坐标轴上时,请求出点的坐标. 10.如图,已知直线与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线经过两点,且与x轴的另一个交点为B,对称轴为直线. (1)求抛物线的表达式;