圆锥曲线的综合问题 专项练习-2023届高三数学二轮专题复习

冲刺2023年高考二轮 圆锥曲线的综合问题 （原卷+答案） 1．已知抛物线x2＝ay(a>0)，过点M作两条互相垂直的直线l1，l2，设l1，l2分别与抛物线相交于A，B及C，D两点，当A点的横坐标为2时，抛物线在点A处的切线斜率为1. (1)求抛物线的方程； (2)设线段AB，CD的中点分别为E，F，O为坐标原点，求证：直线EF过定点． 2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为2，且过点P(，1)， (1)求C的方程； (2)设直线y＝kx＋m(m>0)交y轴于点M，交C于不同两点A，B，点N与M关于原点对称，BQ⊥AN，Q为垂足．问：是否存在定点M，使得·为定值？ 3．已知圆M过点(1，0)，且与直线x＝－1相切． (1)求圆心M的轨迹C的方程； (2)过点P(2，0)作直线l交轨迹C于A、B两点，点A关于x轴的对称点为A′，过点P作PQ⊥A′B，垂足为Q，在平面内是否存在定点E，使得为定值．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M(m，－2)为抛物线上一点，|MF|＝2. (1)求抛物线C的标准方程； (2)过M的两直线交抛物线于A，B，且∠AMB的平分线平行于y轴，试判断△AMB的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由． 5.[2022·山东济宁一模]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，A、B分别为椭圆C的右顶点、上顶点，F为椭圆C的右焦点，椭圆C的离心率为，△ABF的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)点P为椭圆C上的动点(不是顶点)，点P与点M，N分别关于原点、y轴对称，连接MN与x轴交于点E，并延长PE交椭圆C于点Q，则直线MP的斜率与直线MQ的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 6．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，圆O：x2＋y2＝1. (1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为C和圆O的一个交点，求； (2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求的最小值及相应p的值． 参考答案 1．解析：（1）由x2＝ay得y＝x2，则y′＝x，∴y′＝＝1，解得a＝4， ∴抛物线方程为x2＝4y； （2）证明：由题意知直线l1，l2的斜率都存在且都不为零， 由（1）知：M（0，2）， 设直线AB：y＝kx＋2，代入x2＝4y得x2－4kx－8＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝4k，x1x2＝－8， ∴y1＋y2＝k（x1＋x2）＋4＝4k2＋4，∴AB中点E（2k，2k2＋2）；∵l1⊥l2，∴CD：y＝－x＋2，同理可得：CD中点F； ∴EF的方程为y－（2k2＋2）＝（x－2k）， 化简整理得：y＝x＋4，则当x＝0时，y＝4， ∴直线EF恒过定点（0，4）. 2．解析：（1）依题意知2a＝2，即a＝， 所以C的方程可化为＋＝1，将点P（，1）代入C得＋＝1， 解得b2＝2， 所以椭圆方程为＋＝1； （2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立得，（1＋5k2）x2＋10kmx＋5m2－10＝0， Δ＝（10km）2－4（1＋5k2）（5m2－10）>0，解得m2<2＋10k2， x1＋x2＝，x1x2＝， 注意到Q，N，A三点共线，·＝， 又·＝（＋）·＝· ＝x1x2＋（y1＋m）（y2＋m）＝x1x2＋（kx1＋2m）（kx2＋2m） ＝（1＋k2）x1x2＋2mk（x1＋x2）＋4m2＝－＋4m2 ＝＋4m2， 当－15m2－10＝5（5m2－10），解得m＝±1， 因为m>0，所以m＝1，此时·＝－1，满足Δ>0， 故存在定点M（0，1），使得·等于定值1. 3．解析：（1）设圆心M（x，y），依题意，＝|x＋1|，化简整理得：y2＝4x， 所以圆心M的轨迹C的方程是y2＝4x. （2）依题意，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x＝ty＋2，A（x1，y1），B（x2，y2），则A′（x1，－y1），y1≠－y2，由抛物线对称性知，点A′在轨迹C上，直线A′B的斜率为k＝＝＝， 直线A′B的方程为y－y2＝，化简整理得y＝x－， 由消去x并整理得y2－4ty－8＝0，则有y1y2＝－8， 直线A′B的方程化为y＝（x＋2），因此直线A′B恒过定点P′（－2，0）， 因PQ⊥A′B于点Q，于是得△PQP′是直角三角形，且点O（0，0）是斜边PP′的中点，则恒有|OQ|＝|PP′|＝2， 令点（0，0）为E，从而有|EQ|＝2， 所以存在定点E，使得|EQ|＝2为定值，点E坐标为（0，0）. 4．解析：（1）因为M（m，－2）为抛物线C：y2＝2px（p>0）上一点，所以m＝＝.因为|MF|＝2， 所以2＝m＋，即＋＝2，解得p＝2，所以抛物线C