3.4.3.2两个平面所成的角 课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第2课时　两个平面所成的角 南阳市五中 [教材要点] 要点　两个平面所成的角 一般地，已知n1，n2分别为平面α，β的法向量，则二面角α­l­β的平面角与两法向量所成角〈n1，n2〉相等或互补． 则cos 〈n1，n2〉＝________________． 当〉≤时，两个平面的夹角θ＝〉，此时cos θ＝〉＝ 当〉≤π时， 两个平面的夹角θ＝〉， 此时，cos θ＝〉)＝〉＝. [基础自测] 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos 〈n1，n2〉＝.(　　) (2)二面角α－l－β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则θ＝〈n1，n2〉．(　　) (3)若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角大小等于60°或120°.(　　) × × √ 2．三棱锥A­BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为，若〉＝，则二面角A­BD­C的大小为(　　) A．　　　B．　　　C．或　　　D．或 解析：因为法向量和平面垂直，所以法向量所成角与二面角相等或者互补，由于从图形中无法判定二面角A­BD­C是锐角还是钝角，所以二面角A­BD­C的大小为或.故选C. 答案：C 3．若平面α的一个法向量为n1＝(1，0，1)，平面β的一个法向量是n2＝(－3，1，3)，则平面α与β所成的角等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：因为n1·n2＝(1，0，1)·(－3，1，3)＝0，所以α⊥β，即平面α与β所成的角等于90°.故选D. 答案：D 4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为________. 解析：建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则D(2，0，0)，A1(0，0，2)，E(0，2，1)，则A1D＝(2，0，－2)，A1E＝(0，2，－1)．设平面A1ED的法向量为n＝(x，y，z)， 则则即 令y＝1，得n＝(2，1，2)． 易知平面ABCD的法向量为m＝(0，0，1)， 则cos 〈n，m〉＝＝. 设平面A1ED与平面ABCD的夹角为θ， 则cos θ＝|cos 〈n，m〉|＝. 答案： 题型一　两个平面所成的角 例1　如图，已知ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.求平面SAB与平面SCD所成二面角的平面角的余弦值． 解析：如图，以A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A­-xyz，则S(0，0，1)，D，C(1，1，0)，B(0，1，0)，∴＝＝(1，1，－1)． 设平面SCD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则n·＝0，n·＝0， ∴∴ 令z＝1，得n＝(2，－1，1)． 易得是平面SAB的一个法向量，且＝(1，0，0)， ∴cos 〈，n〉＝＝. 设平面SAB与平面SCD所成二面角的平面角为θ，则cos θ＝. 方法归纳 利用法向量求二面角的大小的一般步骤 1．建立适当的空间直角坐标系． 2．分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量． 3．求出两个法向量的夹角的余弦值． 4．确定二面角的平面角的大小，方法有：(1)根据几何图形直观判断二面角的平面角是锐角还是钝角，从而决定其余弦值的正负；(2)依据“同进同出互补，一进一出相等”求解；(3)在二面角的一个半平面内取一点P，过P点作另一个半平面所在平面的垂线，若垂足在另一个半平面内，则所求二面角为锐二面角，若垂足在另一个半平面的反向延长面上，则所求二面角为钝二面角． 跟踪训练1　PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，求二面角A­PB­C的余弦值． 解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，∴＝(0，0，1)，＝(，1，0)． 设平面PAB的法向量为＝(x1，y1，z1)， 由得 令x1＝1，则＝(1，－，0)． ＝(0，－1，1)，＝(，0，0)． 设平面PBC的法向量为＝(x2，y2，z2)， 由，得 令z2＝1，则＝(0，1，1)．〉＝＝＝－. ∵所求二面角为锐角，∴二面角A­PB­C的余弦值为. 题型二　夹角的综合问题 例2　如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，且∠BCD＝，PD⊥BC.若底面ABCD是菱形，PA与平面ABCD所成的角为，求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值． 解析：过P作PE⊥BC，垂足为E，连接DE，平面PBC⊥平面ABCD，所以BC⊥平面PDE，PE⊥平面ABCD，故∠PAE是直线PA与平面A