勾股定理讲义2022-2023学年人教版八年级数学下册

第9讲：勾股定理 学习目标： · 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． · 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题． · 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题． 【知识回顾】 1. 正数的平方根有 ，它们互为 ，其中正的那个叫它的____；负数 ，0的平方根是 . 2. 324的算术平方根是 ，的平方根是 . 3.= ,= . 要点一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么 . 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样 就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， 要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中利用正方形ABCD的面积为等量关系可以列式为：____________________________， 可化简为;：_________________________. 　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中利用正方形ABCD的面积为等量关系可以列式为：____________________________， 可化简为;：_________________________. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　　 图（3）中利用梯形ABCD的面积为等量关系可以列式为：____________________________， 可化简为;：_________________________. 要点三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为的线段. 类型一、勾股定理的直接应用 例1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、． （1）若＝5，＝12，求； （2）若＝26，＝24，求． 【变式1】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、． （1）已知＝2，＝3，求； （2）已知，＝32，求、． 【变式2】分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题． OA22=（）2+1=2 ，S1=； OA32=（）2+1=3，S2=； OA42=（）2+1=4，S3=… （1）请用含有n（n为正整数）的等式Sn=___________； （2）推算出OA10=______________． （3）求出 S12+S22+S32+…+S102的值． 类型二、勾股定理的证明 例2、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N， 试说明． 类型三、利用勾股定理作长度为的线段 例3、 作长为、、的线段. 类型四、利用勾股定理解决实际问题 例4、有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高． 【变式】如图所示，一旗杆在离地面5处断裂，旗杆顶部落在离底部12处，则旗杆折断前有多高？ 例5.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【巩固练习】 1. 如图，将一根长为 （）的橡皮筋水平放置在桌面上，固定两端 和 ，然后把中点 竖直地向上拉升 至 点，则拉长后橡皮筋的长度为 A. B. C. D. 2. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是 A. 三内角之比为 B. 三边长的平方之比为 C. 三边长之比为 D. 三内角之比为 3. 如图，在四边形 中，，，，，则 等于 A. B. C. D. 4. 如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中 的度数是 A. B. C. D. 5. 如图，若圆柱的底面周长是 ，高是 ，从圆柱底部 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部 处，则这条丝线的最小长度是 A. B. C. D. 6. 如图， 是一张纸片，，，