1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 导学案-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

用空间向量研究距离、夹角问题 导学案 【知识梳理】 二面角的定义:平面与平面相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中 的二面角称为平面与平面的夹角. 如图,若于A,于B,平面PAB交于E,则 为二面角的平面角,∠AEB+∠APB= 。 若分别为面,的法向量,二面角的平面角或,即二面角等于它的两个面的法向量的 。 设平面与平面的夹角为则= = 【典型例题】 例1 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90°,P为BC的中点,点Q、R分别在棱AA1,BB1上,A1Q=2AQ,BR=2RB1,求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.B C A C1 B1 A1 练习1 正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,求平面AA1B与平面A1BC1夹角的余弦值. 例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F。E P (1) 求证:PA∥平面EDB;F (2) 求证:PB⊥平面EFD.C D A B 练习2已知四棱锥底面为直角梯形,,,底面,且,,是的中点. (1)求证:平面平面; (2)求与所成角的余弦值; (3)求二面角的余弦值. 【知能提升】 1.二面角α-l-β中,平面α的一个法向量为n1=,平面β的一个法向量是n2=,那么二面角α-l-β的大小等于( ) A.120° B.150° C.30°或150° D.60°或120° 2.如图,在正方体ABEF-DCE'F'中,M,N分别为AC,BF的中点,求平面MNA与平面MNB所成锐二面角的余弦值. 3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=BC=AB=2,AB⊥BC,求二面角B1-A1C-C1的大小. 4.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1, 四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. (1)证明:O1O⊥底面ABCD. (2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值. 5.如图,四棱锥P-ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3.点E在棱PA上,且PE=2EA.求二面角A-BE-D的余弦值. 学科网(北京)股份有限公司 $