7.1.2 弧度制及其与角度制的换算（word教参）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 [学习任务] 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的换算. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系. 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. [对应学生用书第4页] 知识点一　弧度制、角度制及其换算 1.度量角的两种单位制 角度制 定义 用　度　作单位来度量角的制度 1度的角 把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度，记作1°.1°＝60'，1'＝　60″　 弧度制 定义 以　弧度　为单位来度量角的制度 1弧度的角 长度等于　半径长　的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 　rad　 2.弧长公式 　　在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝.由此得到l＝　αr　，即弧长等于其所对应的圆心角的　弧度数　与　半径　的积. 3.角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝　2π rad　 2π rad＝　360°　 180°＝　π rad　 π rad＝　180°　 1°＝　 rad　≈0.017 45 rad 1 rad＝　°　≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）1弧度就是1°的圆心角所对的弧. （　×　） （2）“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关. （　√　） （3）160°化为弧度制是π rad. （　√　） （4）1 rad的角比1°的角要大. （　√　） 知识点二　弧长公式与扇形面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，α（0＜α＜2π）为其圆心角，则 度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝ l＝　αr　 扇形的面积 S＝ S＝　lr　＝　αr2　 1.若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是 （　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析　设该扇形半径为r，又∵圆心角α＝，弧长l＝，∴由扇形弧长公式l＝αr，可得＝×r，解得r＝2. 答案　B 2.扇形的中心角为120°，半径为，则此扇形的面积为（　　） A.π B. C. D.π2 解析　因为扇形的中心角为120°，即扇形的中心角为α＝，又半径为r＝，所以扇形的面积为S＝αr2＝××（）2＝π. 答案　A [对应学生用书第5页] 探究一　角度与弧度的互化 [例1]　把下列角度化成弧度或弧度化成角度： （1）72°； （2）－300°； （3）2； （4）－. [解]　（1）72°＝72×＝. （2）－300°＝－300×＝－. （3）2＝°＝°. （4）－＝－°＝－40°. 角度与弧度互化的原则和方法 （1）原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad，1 rad＝°进行换算. （2）方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝°；n°＝n× rad. 1.（1）把112°30'化成弧度； （2）把－化成角度. 解　（1）112°30'＝°＝×＝. （2）－＝－°＝－75°. 探究二　用弧度表示角 [例2]　用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内（不包括边界）的角的集合. [解]　（1）如题图①，∵330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－，而75°＝75×＝， ∴终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为 {θ︱2kπ－＜θ＜2kπ＋，k∈Z}. （2）如题图②，∵30°＝，210°＝，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z. 又终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z， 从而终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为 {θ︱kπ＋＜θ＜kπ＋，k∈Z}. 用弧度制表示角应关注的三点 （1）用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时需进行角度与弧度的换算.注意单位要统一. （2）在表示角的集合时，可以先写出一周范围（如－π～π，0～2π）内的角，再加上2kπ，k∈Z. （3）终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x｜x＝α＋kπ，k∈Z}；终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为{x︱x＝α＋k·，k∈Z}.在进行区间合并时，一定要做到准确无误. 2.设集合M＝{α︱α＝－，k∈Z}，N＝{α｜－π＜α＜π}，则M∩N＝ （　　） A.{－π，－，，π} B.{0，，π} C.{－π，－，，π} D.⌀ 解析　由－π＜－＜π，得－＜k＜.因为k∈Z，所以k＝－1，0，1，2，即α＝－，－，，，则M∩N＝{－π，－，，π}. 答案　A 3.终边在第一象限的角的集合是　　　　　　　　.（用弧度制表示）  解析　（0，2π）范围内，第一象限角的终边对应的角为0弧度的角到弧度的角