专题05 抛物线方程（重难点突破）-【赢在寒假】2023年高二寒假精品课讲与练（新教材人教A版2019）

专题05 抛物线方程 【重难点知识点网络】： 【重难点题型突破】： 一、抛物线方程的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点诠释: （1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线. （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化. 例1 .(1)、（2022·全国·高三专题练习）与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是______． (2)、（2022·全国·高三专题练习）已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（     ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 (3)、（2022·高二课时练习）若点满足方程，则点P的轨迹是______． 【变式训练1-1】、（2021秋·四川·高二双流中学校考开学考试）已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为_______. 【变式训练1-2】、（2022·全国·高三专题练习）若动点满足，则点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式训练1-3】、（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 二、抛物线方程的简单的图像与性质 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 对称性：关于x轴对称 抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 顶点：坐标原点 抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 例2.(1)、（2021春·新疆阿克苏·高二校考期末）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． (2)、（2021春·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是__________. 【变式训练2-1】、（2022·全国·高二假期作业）已知抛物线的AB弦过它的焦点，直线AB的斜率为1，则弦AB的长为______. 【变式训练2-2】、（2021春·新疆阿克苏·高二校考期末）已知直线与抛物线交于，两个点，求线段长（    ） A．4 B． C．2 D．20 例3．（2022·四川·高三统考对口高考）已知点到直线的距离等于，其中．设平面内与点F和直线距离相等的点的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)设与C在第一象限的交点为A，与x轴的交点为B，求的面积． 【变式训练3-1】、（2022春·黑龙江·高二黑龙江实验中学校考期中）已知抛物线：上一点到焦点的距离为， (1)求抛物线的方程； (2)若在第一象限，不过的直线与抛物线相交于，两点，且直线，的斜率之积为，证明：直线过定点． 三、求离心率或抛物线方程 例4 .(1)、（2022春·贵州毕节·高三校联考阶段练习）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 (2)、（2022春·广东·高三校联考阶段练习）抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点；反之，由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点反射后，再经C上另一点反射后，沿直线射出，则（    ） A． B． C．延长（为坐标原点）交直线于点，则轴 D． (3)、（2022春·贵州贵阳·高二校联考阶段练习）以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知，，则的顶点到准线的距离为___________. 【变式训练4-1】、（2022春·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知过抛物线