专题04 双曲线方程（重难点突破）-【赢在寒假】2023年高二寒假精品课讲与练（新教材人教A版2019）

专题04 双曲线方程 【重难点知识点网络】： 【重难点题型突破】： 平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0. (1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线； (2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线； (3)当a＞c时，点P不存在． 例1 .(1)、（2022·四川·高三统考对口高考）已知y轴上两点，，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． (2)、（2022春·内蒙古包头·高二包头一中校考期中）已知圆外一点，点P是圆上任意一点，线段NP的垂直平分线l和直线MP交于点Q，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． (3)、（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为________. 【变式训练1-1】、（2022·全国·高三专题练习）已知两圆，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】、（2022春·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】、（2022·高二课时练习）如图，圆，点，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，则动圆P的圆心P的轨迹方程为______． 二、双曲线方程的简单的图像与性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝　　，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 例2 .(1)、（2022·陕西宝鸡·统考一模）双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． (2)、（2022春·山东·高二沂水县第一中学校联考期末）已知双曲线：的渐近线方程为，则（    ） A．2 B．－2 C． D． 【变式训练2-1】、（2022·陕西宝鸡·统考一模）双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练2-2】、（2022春·四川德阳·高三阶段练习）若双曲线的离心率与椭圆的离心率互为倒数，则椭圆的焦点到双曲线的渐近线的距离是__________. 例3、（2022春·山西晋城·高二晋城市第二中学校校考阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右焦点为，点，过点的直线交双曲线于两点，且，求直线的方程. 【变式训练3-1】、（2022春·河北邯郸·高三涉县第一中学校考期中）已知为双曲线的右焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的直线与双曲线相交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，求直线的方程. 三、求离心率或双曲线方程 例4 .(1)、（2022春·江苏徐州·高三期末）若双曲线：，的离心率为，则的两条渐近线所成的角等于__________. (2)、（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）已知双曲线的右焦点为F，离心率为，点A是双曲线C右支上的一点，O为坐标原点，延长AO交双曲线C于另一点B，且，延长AF交双曲线C于另一点Q，则___________. (3)、（2021春·新疆阿克苏·高二校考期末）设，分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则（    ） A． B．的焦距为 C．的离心率为 D．的面积为 (4)、（2022春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知，是双曲线E：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点、点，且，下列判断正确的是（    ） A． B．的离心率等于 C．双曲线渐近线的方程为 D．的内切圆半径是 【变式训练4-1】、（2022·全国·高二假期作业）已知双曲线:左、右两个顶点分别是，一条渐近线过点，是双曲线上异于的任意一点，则下列说法中正确的是（    ） A．双曲线与双曲线上有相同的渐近线 B．双曲线的离心率为 C．直线的斜率之积等于定值 D．若直线：与渐近