第08讲 乘法公式(讲义）-【寒假自学课】2023年七年级数学寒假精品课（苏科版）

第08讲 乘法公式 知识点1：平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 细节剖析 在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 知识点2：完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 细节剖析 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 知识点3：添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 细节剖析 添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 知识点4：补充公式 ；； ；. 题型一：完全平方公式 【例1】（2021秋•威信县期末）下列计算正确的是（　　） A．4a2+2a2＝6a4 B．a8÷a4＝a2 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（ab）3＝a3b3 【思路引导】利用同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式，积的乘方运算，先计算再判断． 【完整解答】解：4a2+2a2＝6a2，A选项错误； a8÷a4＝a4，B选项错误； （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，C选项错误； （ab）3＝a3b3，D选项正确， 故选：D． 【变式训练】（2022秋•海淀区校级月考）若（s﹣t）2＝4，st＝﹣1，则s2+t2＝　2　． 【思路引导】首先根据完全平方公式，得出s2﹣2st+t2＝4，进而整理得出s2+t2＝4+2st，再把st＝﹣1代入，计算即可得出结果． 【完整解答】解：∵（s﹣t）2＝s2﹣2st+t2＝4， 整理可得，s2+t2＝4+2st， 又∵st＝﹣1， ∴s2+t2＝4+2st＝4+2×（﹣1）＝2． 故答案为：2． 题型二：完全平方公式的几何背景 【例2】（2021秋•安岳县期末）将四个全等的直角三角形（直角边分别为a、b）按图1和图2两种方式放置，则能验证的等式是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2+b2＝（a﹣b）2+2ab C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 D．2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2） 【思路引导】用代数式分别表示图1、图2阴影部分的面积即可． 【完整解答】解：图1阴影部分的面积为×2a×2b＝2ab； 图2阴影部分的面积利用看作边长为（a+b）的面积减去中间空白正方形的面积，即（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab， 因此有2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）， 故选：D． 【变式训练】（2022秋•方城县期中）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．比如：用图1所示的正方形与长方形纸片可以拼成一个图2所示的正方形． （1）利用不同的代数式表示图2的面积S，写出你从中获得的等式为 　（a+b）2＝a2+2ab+b2　； （2）填空． ①已知a+b＝3，ab＝2，则a2+b2＝　5　； ②已知x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，则（11﹣x）2+（x﹣8）2＝　5　； （3）学校计划在如图3的两块正方形草地间种些花，两块草地分别是以AC、BC为边的正方形，且两正方形的面积和S1+S2＝25，点C是线段AG上的点，若AG＝7，求用来种花的阴影部分（即直角三角形ABC）的面积． 【思路引导】（1）根据正方形面积的不同算法求解； （2）①根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab计算可得答案；②先把完全个平方公式变形，再整体代入求解； （3）利用完全平方公式变形，再整体代入求解． 【完整解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2； 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）①∵a+b＝3，ab＝2， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5； 故答案为：5； ②令a＝11﹣x，b＝x﹣8， ∴a+b＝3，ab＝2， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣4＝5， 故答案为：5； （3）设正方形ACED的边长为m，正方形BCGF的边长为n， 则，， AG＝AC+CG＝m+n＝7， ∴． （m+n）2＝72， ∴m2+n2+2mn＝49， ∴25+2mn＝49， ∴mn＝12， ∴用来种