第07讲 单项式乘单项式，单项式乘多项式、多项式乘多项式(讲义）-【寒假自学课】2023年七年级数学寒假精品课（苏科版）

第07讲 单项式乘单项式，单项式乘多项式、多项式乘多项式 知识点1：单项式的乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 细节剖析 （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 知识点2：单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 细节剖析 （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识点3：多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 细节剖析 多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 题型一：单项式乘单项式 【例1】（2022春•南海区校级月考）下列各式中，计算正确的是（　　） A．2a2•3a3＝5a6 B．﹣3a2（﹣2a）＝﹣6a3 C．2a3•5a2＝10a5 D．（﹣a）2•（﹣a）3＝a5 【思路引导】根据单项式乘单项式的乘法法则、同底数幂的乘法法则解决此题． 【完整解答】解：A．根据单项式乘单项式的乘法法则，2a2•3a3＝6a5，那么A错误，故A不符合题意． B．根据单项式乘单项式的乘法法则，﹣3a2•（﹣2a）＝6a3，那么B错误，故B不符合题意． C．根据整式的混合运算，2a3•5a2＝10a5，那么C正确，故C符合题意． D．根据同底数幂的乘法法则，（﹣a）2•（﹣a）3＝（﹣a）5＝﹣a5，那么C正确，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】（2022秋•江油市期中）计算：4x2y（﹣xy2）3． 【思路引导】幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，由此即可计算． 【完整解答】解：原式＝4x2y•（﹣x3y6） ＝﹣4x5y7． 【变式1-2】（2021春•江都区月考）先化简，再求值： （1）已知：x+2y+1＝3，求3x×9y×3的值． （2）已知：x2m＝3，y2n＝5，求（x3m）2+（﹣y3n）2﹣xm﹣1yn•xm+1yn的值． 【思路引导】（1）先根先根据幂的乘方进行变形，再代入求出即可； （2）据幂的乘方进行变形，再代入求出即可． 【完整解答】解：（1）x+2y+1＝3， ∴3x×9y×3 ＝3x×32y×3 ＝3x+2y+1 ＝33 ＝27； （2）∵x2m＝3，y2n＝5， ∴（x3m）2+（﹣y3n）2﹣xm﹣1yn•xm+1yn ＝（x2m）3+（y2n）3﹣x2my2n ＝33+53﹣3×5 ＝27+125﹣15 ＝137． 【变式1-3】（2022春•潍坊期中）计算下列各题： （1）； （2）（4x4y）2•（﹣xy3）5； （3）（x﹣y）8÷（y﹣x）7•（x﹣y）（结果用幂的形式表示）． 【思路引导】（1）利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可； （2）先算积的乘方，再算单项式乘单项式即可； （3）利用同底数幂的除法的法则及同底数幂的乘法的法则进行求解即可． 【完整解答】解：（1） ＝ ＝（﹣）6 ＝； （2）（4x4y）2•（﹣xy3）5 ＝16x8y2•（﹣x5y15） ＝﹣16x13y17； （3）（x﹣y）8÷（y﹣x）7•（x﹣y） ＝﹣（x﹣y）8÷（x﹣y）7•（x﹣y） ＝﹣（x﹣y）8﹣7+1 ＝﹣（x﹣y）2． 题型二：单项式乘多项式 【例2】（2022秋•立山区期中）已知x﹣y＝4，则x（x﹣2y）+y2的值为 　16　． 【思路引导】利用单项式乘多项式的法则进行运算，再结合完全平方公式，整体代入运算即可． 【完整解答】解：当x