空间想象能力能力培养讲义-2023届高三数学二轮专题复习

能力专题14 空间想象能力 探究1：空间几何体中的截面问题 【典例剖析】 例1. (2022·湖南·模拟) 如图，长方体中，，点为的中点，过作长方体的截面交棱于点，则(    ) A. 不存在点，使得 B. 当截面为平行四边形时，截面面积的最大值为 C. 截面可能是六边形 D. 随的增大，直线与截面所成角的大小先增大再减小 选题意图: 空间几何体的截面问题对空间想象能力的要求较高.本题以常规几何体（长方体）为载体，探究截面的不同形状，截面面积、线面角的变化等，解决问题的方法是借助于空间向量的坐标表示，将几何问题作代数化处理，最后再回归到几何问题本身. 思维引导：先建立空间直角坐标系．A项用向量共线条件，列方程组求解判断；B项先表示出截面面积，当t=1时截面面积最大；C项作截面判断；D项利用空间向量求线面角正弦值，再根据二次函数单调性判断． 【变式训练】 练1-1. (2022·广东省·联考) 已知四面体为正四面体，，，分别是，的中点．若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为(    ) A. B. C. D. 练1-2. (2022·安徽省·月考) 在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，，，两两垂直，单位：，小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积单位：的最大值是(    ) A. B. C. D. 【规律方法】 1. 熟练掌握正六面体横截、竖截、斜截后的平面图形，圆柱体经过横截、竖截、斜截后的平面图形. 2. 结合线、面平行的判定与性质求截面问题，结合线、面垂直的判定与性质求截面问题 3. 有关截面最值问题求解策略：（1）转化为建立函数模型求解最值问题，或利用基本不等式求解；（2）猜想法求最值，需要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等. 探究2：几何体折叠问题 【典例剖析】 例2. (2022·全国·联考) 为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了诵经典，获新知的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图，已知球的体积为，托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图则下列结论正确的是(    ) A. 经过三个顶点的球的截面圆的面积为 B. 异面直线与所成的角的余弦值为 C. 多面体的体积为 D. 球面上的点离球托底面的最小距离为 选题意图: 空间几何体的折叠问题, 需要正确地分析出折叠前后图形中的基本元素及其相互关系，能对图形进行分解、组合，会将空间问题平面化，利用正余弦定理解决平面问题.本题以真实生活情境为背景，考查的知识点较多，对空间想象能力和数学运算能力的要求较高. 思维引导: 本题考查了正弦定理，余弦定理，球的表面积和体积，异面直线所成角和直线与平面所成的角等知识点．构建一个底面边长为2，高为的正三棱柱，由球的体积公式得铜球的半径R=1，再逐项分析即可． 【变式训练】 练2-1. (2022·全国·模拟) 平行四边形，点分别在上，且，点是上的动点，和中点分别是和，把四边形沿折起，则(    ) A. 直线和直线是异面直线 B. 直线和直线是异面直线 C. 存在点，使得直线面 D. 存在点，使得平面面 练2-2. (2022·湖北省·模拟) 在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱展开得到平面图如图所示，，，为的中点，为的中点，则在原直三棱柱中，下列说法正确的是(    ) A. ，，，四点共面 B. C. 几何体和直三棱柱的体积之比为 D. 当时，与平面所成的角为 【规律方法】 1. 解决与折叠有关问题的关键是搞清折叠前后的变化量与不变量，一般情况下，折现同一侧的线段长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口； 2. 在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解. 探究3：动态问题 【典例剖析】 例3. (2022·湖北省·联考) 如图，已知，是相互垂直的两条异面直线，直线与，均相互垂直，垂足分别为，，且，动点，分别位于直线，上，且异于，异于若直线与所成的角，线段的中点为，下列说法正确的是(    ) A. 的长度为定值 B. 三棱锥的外接球的半径长为定值 C. 三棱锥的体积为定值 D. 点到的距离为定值 选题意图: 立体几何中的动态问题是指空间图形中的某些点线面的位置是不确定的，可变的一类开放型问题，是学生进行思考、转化的障碍，但又因其是可变的、开放的，更有助于空间想象能力及综合思维能力的培养。关键是抓住变化过程中不变的位置关系和数量关