专题05 三角函数-2023年高一数学寒假自我学习课精讲精练（人教A版2019）

专题05 三角函数 【夯实双基】 一、正弦函数性质 函数 正弦函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点；最小值点 对称中心 对称轴 二、余弦函数的性质 函数 余弦函数 定义域 值域 奇偶性 偶函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点 最小值点 对称中心 对称轴 三、正切函数的性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期                          奇偶性                   奇函数 单调性 在每一个区间（k∈Z）上都单调递增 对称性 对称中心（k∈Z） 四、由得图象通过变换得到的图象 1、振幅变换： ，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅． 2、周期变换： 函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期． 3、相位变换： 函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）． 4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径 【概念辨析】 （1）函数是奇函数.( ) （2）当时，函数的图象与直线的公共点的个数为4个.( ) （3）由于，所以是函数的一个周期．( ) （4）若x是第一象限角，则是增函数．( ) （5）正切曲线有无数条对称轴，其对称轴是．( ) （6）函数图象向右平移个单位得到的图象.( ) 【答案】（1）错误；（2）错误；（3）错误；（4）错误；（5）错误；（6）正确 【典例精讲】 考点1 函数图像 题型一 函数图像变换 例1．（2022秋·上海浦东新·高一上海市川沙中学期中）若把函数的图象沿轴向左平移个单位，沿轴向下平移一个单位，然后再把图象上各个点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象的平移变换求即可. 【详解】函数的图象上各个点的横坐标伸长为原来的2倍得到，然后向上平移一个单位得到，向右平移个单位得到，所以.故选：D. （2）．（2022春·河北唐山·高三校联考阶段练习）将函数的图象向左或向右平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则的一个取值可能为__________. 【答案】（或）（只需从中写一个答案即可） 【分析】根据三角函数图象变换的知识求得的解析式，根据是偶函数列方程，化简求得的表达式，进而求得的可能取值. 【详解】由题意可知. 因为是偶函数，所以，所以. 因为，所以的取值可能为. 故答案为：（或）（只需从中写一个答案即可） 练习．（2022春·全国·高三校联考阶段练习）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则图像的对称中心可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图像变换求得的解析式，再求得的对称中心. 【详解】函数的图像向右平移个单位长度，得到函数，所以， 令，即的对称中心为， 令，求得的一个对称中心为.故选：D 题型二 根据函数图像求表达式 例2．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦型函数所过的特殊点，结合正弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】由函数图象可知该函数过，设该函数的最小正周期为， 所以，因为，所以， 把代入函数解析式中，， 因为，所以令，即， 因为，所以， 故选：A 练习2．（2022春·江西赣州·高三校联考阶段练习）函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数周期可求出，又由特殊值和，可求得和，进而可得的解析式，再利用的图象变换规律，求得的解析式． 【详解】依题意有，得， 又，所以，且，得， 又，得，所以，所以．故选：A． 考点2 正弦型或者余弦型函数的性质 题型一 周期性 例1．（2022·高一课时练习）的最小正周期是（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】，利用三角恒等变换化简判断周期即可 【详解】因为， 因为的最小正周期为，所以的最小正周期为， 所以的