18.2.3正方形——典型模型问题 学案 2021—2022学年人教版数学八年级下册

18.2.3 正方形的综合应用学案 班级 姓名 一、正方形内部含互相垂直的两条线段 例1、如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE． （1）求证：AF＝BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由． 练习1．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．（1）若BC＝4，求AG的长；（2）连接BF，求证：AB＝FB． 2．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为 . 2、 一线三等角 例2、如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B，D作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为 . 练习1．如图，直线l过正方形ABCD的顶点D，过A、C分别作直线l的垂线，垂足分别为E、F．若AE＝4a，CF＝a，则正方形ABCD的面积为　 　． 2．问题背景 如图①，点E是正方形ABCD边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，易证AE＝EF；（不需要证明） （1）问题变式 若把问题背景中的“点E是正方形ABCD边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，或者“E为BC反向延长线上一点”其他条件不变（如图②），那么结论“AE＝EF”仍然成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由； （2）问题拓展 在问题变式的基础上，试问在AB上是否存在一点N，使得以D、N、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出证明过程；若不存在，请说明理由； 3、 正方形对角线上含一直角 （1）、直角顶点是对角线交点 例3、如图，正方形ABCD，AC、BD交于点O，点E、F分别在AB、BC上，且∠EOF＝90°，则下列结论①AE＝BF，②OE＝OF，③BE+BF＝AD，④AE2+CF2＝2OE2中正确的有　 　（只写序号） 练习1．已知：如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，对角线AC、BD相交于点O．过点O作一直角∠MON，直角边OM、ON分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MON，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），OM、ON分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是　 　（填序号）． ①EF＝OE；②S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：2；③BE+BF＝OA；④OG•BD＝AE2+CF2； （2）直角顶点不是对角线交点 例4、如图，正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB，边作PE⊥PB交AD边于于点E，且点E不与点A，D重合，作PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N． （1）求证：PM＝PN；（2）求证：EM＝BN． 练习．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． （1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值； （3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长． 4、 两个正方形组合模型 例5、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，交DG于点P．（1）求证：BH＝EC．（2）若AB＝3，EC＝4，则DP的长是　 　． 练习1．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是 . 2. 如图，正方形AEFG和正方形ABCD是两个全等的正方形，若∠EAB＝30°，则∠DFE的大小为 ． 3．如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形ABCD外做正方形GCEF，联结DE交BG的延长线于点H． （1）求证：BH⊥DE；（2）若正方形ABCD的边长为1，当点H为DE中点时，求CG的长． 4．如图所示，正方形ABCD和正方形AEFG共顶点A，正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转，连接DG，BE，BE与AC相交于点H． （1）如图1，在旋转过程中，当G，A，H，C恰好在同一直线上时，若AE＝，AB＝2，求线段DG的长； （2）如图2，连接HG，在